Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral
ao longo do caminho
. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos. A gente vai precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem singularidades, ou seja, onde o denominador é zero. Isso acontece quando
.
Passo 3
Resolvendo
, temos:
-
⇒ -
⇒
Então, as singularidades são
e
.
Passo 4
Agora, vamos ver quais dessas singularidades estão dentro do caminho
. Como
e
, ambas as singularidades estão dentro do caminho.
Passo 5
Vamos calcular os resíduos em cada ponto.
Para
:
A função tem uma singularidade de ordem 2 (porque está no denominador). O resíduo para uma singularidade de ordem
pode ser calculado usando derivadas. Porém, para simplificar, sabemos que o resíduo de
em
é 0, porque a expansão em série de Laurent ao redor de
não tem termo
.
A função tem uma singularidade de ordem 2 (porque
Para
:
Aqui a singularidade é simples. O resíduo é dado por:
Aqui a singularidade é simples. O resíduo é dado por:
Mas isso está errado, na verdade precisamos derivar corretamente. Vamos refazer:
A fórmula correta para o resíduo em
é:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é
vezes a soma dos resíduos dentro do caminho, temos:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(d) , para um contorno C sobre o círculo:
.
(d)
Calcule as integrais:
(e) sobre o círculo:
;
(e)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(j)
(j)
Inverta a ordem de integração.
(e)
(e)