Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(f) oint 1z^2(z+1) d z, |z|=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral ao longo do caminho . Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos. A gente vai precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem singularidades, ou seja, onde o denominador é zero. Isso acontece quando .

Passo 3

Resolvendo , temos:
Então, as singularidades são e .

Passo 4

Agora, vamos ver quais dessas singularidades estão dentro do caminho . Como e , ambas as singularidades estão dentro do caminho.

Passo 5

Vamos calcular os resíduos em cada ponto.
Para Res(1z^2(z+1), -1) = 1(-1)^2(-1 + 1) = 11 cdot 0 :
A função tem uma singularidade de ordem 2 (porque Res(1z^2(z+1), -1) = limz to -1 (z + 1) 1z^2(z+1) = limz to -1 1z^2 = 1(-1)^2 = 1 está no denominador). O resíduo para uma singularidade de ordem pode ser calculado usando derivadas. Porém, para simplificar, sabemos que o resíduo de em é 0, porque a expansão em série de Laurent ao redor de não tem termo .
Para :
Aqui a singularidade é simples. O resíduo é dado por:
Mas isso está errado, na verdade precisamos derivar corretamente. Vamos refazer:
A fórmula correta para o resíduo em é:

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é oint 1z^2(z+1) , dz = 2pi i times (0 + 1) = 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do caminho, temos:

Resposta

A integral vale .

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