Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral ao longo do caminho . Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos. A gente vai precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem singularidades, ou seja, onde o denominador é zero. Isso acontece quando .

Passo 3

Resolvendo , temos:
Então, as singularidades são e .

Passo 4

Agora, vamos ver quais dessas singularidades estão dentro do caminho . Como e , ambas as singularidades estão dentro do caminho.

Passo 5

Vamos calcular os resíduos em cada ponto.
Para :
A função tem uma singularidade de ordem 2 (porque está no denominador). O resíduo para uma singularidade de ordem pode ser calculado usando derivadas. Porém, para simplificar, sabemos que o resíduo de em é 0, porque a expansão em série de Laurent ao redor de não tem termo .
Para :
Aqui a singularidade é simples. O resíduo é dado por:
Mas isso está errado, na verdade precisamos derivar corretamente. Vamos refazer:
A fórmula correta para o resíduo em é:

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é vezes a soma dos resíduos dentro do caminho, temos:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(d) , para um contorno C sobre o círculo: .
Calcule as integrais:
(e) sobre o círculo: ;
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(j)
Inverta a ordem de integração.
(e)