Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(d) oint z^2 d zz-3, para um contorno C sobre o círculo: |z|=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de contorno ao redor do círculo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de contorno e o teorema dos resíduos. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora, vou explicar cada um enquanto avançamos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função tem algum ponto problemático, chamado de singularidade, dentro do nosso contorno que é o círculo . A singularidade ocorre onde o denominador é zero, ou seja, em .

Passo 3

Agora, precisamos ver se essa singularidade está dentro do círculo . Como , que é menor que 4, o ponto está dentro do nosso contorno. Isso significa que podemos usar o teorema dos resíduos para calcular a integral.

Passo 4

O teorema dos resíduos nos diz que:
ointC f(z) , dz = 2pi i times Res(f, a)
onde Res(z^2z - 3, 3) = 3^2 = 9 é o resíduo da função no ponto dentro do contorno. No nosso caso, e .
Para encontrar o resíduo, observamos que a singularidade em é um polo simples. O resíduo é simplesmente o valor de em :

Passo 5

Aplicando o teorema dos resíduos:
oint z^2 , dzz - 3 = 2pi i times 9 = 18pi i

Resposta

A integral vale .

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