Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(d)
, para um contorno C sobre o círculo:
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de contorno
ao redor do círculo
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de contorno e o teorema dos resíduos. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora, vou explicar cada um enquanto avançamos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função
tem algum ponto problemático, chamado de singularidade, dentro do nosso contorno
que é o círculo
. A singularidade ocorre onde o denominador é zero, ou seja, em
.
Passo 3
Agora, precisamos ver se essa singularidade está dentro do círculo
. Como
, que é menor que 4, o ponto
está dentro do nosso contorno. Isso significa que podemos usar o teorema dos resíduos para calcular a integral.
Passo 4
O teorema dos resíduos nos diz que:
onde
é o resíduo da função
no ponto
dentro do contorno. No nosso caso,
e
.
Para encontrar o resíduo, observamos que a singularidade em
é um polo simples. O resíduo é simplesmente o valor de
em
:
Passo 5
Aplicando o teorema dos resíduos:
Resposta
A integral vale
.
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Calcule as integrais:
(e) sobre o círculo:
;
(e)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(f)
(f)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(j)
(j)