Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa: no caminho onde . Esse tipo de problema está na área de Análise Complexa, mais especificamente envolvendo integrais de contorno e o Teorema dos Resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os polos da função dentro do caminho dado e calcular os respectivos resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração: . Precisamos encontrar as raízes dessa equação para identificar os polos da função. Vamos resolver .

Passo 3

Para resolver , podemos fazer uma substituição para facilitar: seja , então a equação fica . Resolvendo essa equação quadrática:
Então, . Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de cada solução:
Isso nos dá 4 polos complexos.

Passo 4

Agora, precisamos determinar quais desses polos estão dentro do círculo . Calculando o módulo de cada polo, vemos que todos eles têm módulo igual a 1, já que:
Portanto, todos os 4 polos estão dentro do caminho de integração .

Passo 5

Como todos os polos estão dentro do contorno, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
í
Precisamos calcular os resíduos da função em cada um dos 4 polos.

Passo 6

Para encontrar o resíduo em cada polo simples , usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos a derivada do denominador:
Então,

Passo 7

Cada resíduo é igual a 1, e temos 4 polos dentro do contorno. Portanto, a soma dos resíduos é:
í

Passo 8

Aplicando o Teorema dos Resíduos:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(f)
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(d) , para um contorno C sobre o círculo: .
Inverta a ordem de integração.
(e)
Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(h) iy