Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa: no caminho onde . Esse tipo de problema está na área de Análise Complexa, mais especificamente envolvendo integrais de contorno e o Teorema dos Resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os polos da função dentro do caminho dado e calcular os respectivos resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração: . Precisamos encontrar as raízes dessa equação para identificar os polos da função. Vamos resolver .
Passo 3
Para resolver , podemos fazer uma substituição para facilitar: seja , então a equação fica . Resolvendo essa equação quadrática:
Então, . Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de cada solução:
Isso nos dá 4 polos complexos.
Passo 4
Agora, precisamos determinar quais desses polos estão dentro do círculo . Calculando o módulo de cada polo, vemos que todos eles têm módulo igual a 1, já que:
Portanto, todos os 4 polos estão dentro do caminho de integração .
Passo 5
Como todos os polos estão dentro do contorno, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
oint 4 z^3+2 zz^4+z^2+1 dz = 2pi i times (soma dos resíduos dentro do contorno) í
Precisamos calcular os resíduos da função em cada um dos 4 polos.
Passo 6
Para encontrar o resíduo em cada polo simples Res(f, zk) = 4 zk^3 + 2 zkddz(z^4 + z^2 + 1)|z=zk , usamos a fórmula:
ddz(z^4 + z^2 + 1) = 4 z^3 + 2 z
Primeiro, calculamos a derivada do denominador:
Res(f, zk) = 4 zk^3 + 2 zk4 zk^3 + 2 zk = 1
Então,
Passo 7
Cada resíduo é igual a 1, e temos 4 polos dentro do contorno. Portanto, a soma dos resíduos é:
Soma dos resíduos = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 í
Passo 8
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
oint 4 z^3+2 zz^4+z^2+1 dz = 2pi i times 4 = 8pi i