Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
ao longo do caminho
. Isso está relacionado ao estudo de integrais de funções complexas, mais especificamente usando séries de potências e o Teorema dos Resíduos para resolver integrais em contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser expandido em uma série de potências, ou seja, uma série infinita:
Passo 3
Agora, vamos dividir
por
:
Isso nos dá uma série de potências onde cada termo tem a forma
.
Passo 4
Para calcular a integral ao longo do caminho
, usamos o Teorema dos Resíduos, que basicamente nos diz que a integral de uma função ao longo de um contorno fechado é
vezes o coeficiente de
na série de Laurent da função.
Passo 5
Vamos identificar qual termo da nossa série
corresponde a
:
Queremos que
, então:
Passo 6
Agora, substituímos
na nossa série para encontrar o coeficiente:
Então, o coeficiente de
é
.
Passo 7
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Resposta
A integral vale
.