Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(k) oint e^zz^3 d z, |z|=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de ao longo do caminho . Isso está relacionado ao estudo de integrais de funções complexas, mais especificamente usando séries de potências e o Teorema dos Resíduos para resolver integrais em contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e^z = sumn=0^infty z^nn! pode ser expandido em uma série de potências, ou seja, uma série infinita:

Passo 3

Agora, vamos dividir e^zz^3 = 1z^3 sumn=0^infty z^nn! = sumn=0^infty z^n-3n! por :
Isso nos dá uma série de potências onde cada termo tem a forma .

Passo 4

Para calcular a integral ao longo do caminho , usamos o Teorema dos Resíduos, que basicamente nos diz que a integral de uma função ao longo de um contorno fechado é vezes o coeficiente de na série de Laurent da função.

Passo 5

Vamos identificar qual termo da nossa série n - 3 = -1 implies n = 2 corresponde a :
Queremos que , então:

Passo 6

Agora, substituímos z^2-32! = z^-12 = 12 cdot z^-1 na nossa série para encontrar o coeficiente:
Então, o coeficiente de é .

Passo 7

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
oint e^zz^3 dz = 2pi i times (12) = pi i

Resposta

A integral vale .

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