Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
© oint d zz, para um contorno C sobre o círculo: |z|=1.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de ao longo de um contorno que é o círculo . Isso está relacionado com a matéria de integrais de contorno na análise complexa. Para resolver isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre a integral de funções complexas e o teorema de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar ao redor de um círculo que passa pela origem. A função tem uma singularidade em , ou seja, nela a função não está definida. Esse ponto está exatamente no centro do nosso círculo .

Passo 3

Aqui entra o Teorema de Cauchy para integrais de contorno. O teorema diz que, se temos uma função que é analítica (ou seja, sem singularidades) dentro e sobre um contorno fechado, a integral ao longo desse contorno é zero. Porém, nossa função não é analítica em , que está dentro do nosso contorno.

Passo 4

Para funções com singularidades dentro do contorno, usamos a fórmula do resíduo. No caso de , o resíduo em é simplesmente 1. A fórmula do resíduo nos diz que a integral ao redor de um contorno fechado é vezes o resíduo dentro desse contorno.

Passo 5

Aplicando o teorema, multiplicamos oint dzz = 2pi i times 1 = 2pi i pelo resíduo que encontramos, que é 1. Então, a integral fica:

Resposta

oint dzz = 2pi i

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