Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
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, para um contorno C sobre o círculo:
.
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Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de
ao longo de um contorno
que é o círculo
. Isso está relacionado com a matéria de integrais de contorno na análise complexa. Para resolver isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre a integral de funções complexas e o teorema de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar
ao redor de um círculo que passa pela origem. A função
tem uma singularidade em
, ou seja, nela a função não está definida. Esse ponto está exatamente no centro do nosso círculo
.
Passo 3
Aqui entra o Teorema de Cauchy para integrais de contorno. O teorema diz que, se temos uma função que é analítica (ou seja, sem singularidades) dentro e sobre um contorno fechado, a integral ao longo desse contorno é zero. Porém, nossa função
não é analítica em
, que está dentro do nosso contorno.
Passo 4
Para funções com singularidades dentro do contorno, usamos a fórmula do resíduo. No caso de
, o resíduo em
é simplesmente 1. A fórmula do resíduo nos diz que a integral ao redor de um contorno fechado é
vezes o resíduo dentro desse contorno.
Passo 5
Aplicando o teorema, multiplicamos
pelo resíduo que encontramos, que é 1. Então, a integral fica: