Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(e) oint 12 z^2+3 z-2 d z, |z|=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno: ao longo do caminho . Isso está na área de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema dos Resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os polos da função dentro do círculo e calcular os resíduos nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os polos da função 2 z^2 + 3 z - 2 = 0 . Os polos são os valores de z = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a que fazem o denominador igual a zero:
z = -3 pm raiz9 + 164 = -3 pm 54
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
z1 = -3 + 54 = 24 = 12
Onde z2 = -3 - 54 = -84 = -2 , , e :
Assim, temos duas soluções:
Portanto, os polos são e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do círculo | 12 | = 12 < 1 .
  • Para |-2| = 2 > 1 :
  • Para :
Então, apenas o polo está dentro do caminho .

Passo 4

Vamos calcular o resíduo da função Res(f, z0) = N(z0)D'(z0) no polo N(z) = 1 . Para funções racionais onde o polo é simples, o resíduo pode ser encontrado usando:
D(z) = 2 z^2 + 3 z - 2
Onde D'(z) = 4 z + 3 é o numerador e D'( 12 ) = 4 ( 12 ) + 3 = 2 + 3 = 5 é o denominador da função Res( f, 12 ) = 15 .
Para nossa função:
Avaliando em :
Então,

Passo 5

Aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral de contorno é igual a oint 12 z^2+3 z-2 , dz = 2pi i ( 15 ) = 2pi i5 vezes a soma dos resíduos dentro do caminho. Como temos apenas um resíduo :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados