Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(e) w = (x - i 2 y)²

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente precisa verificar se a função é analítica. Isso está relacionado ao estudo de funções de variável complexa, especialmente se elas são diferenciáveis em todo ponto de um domínio, o que envolve as chamadas Equações de Cauchy-Riemann. Vamos precisar expandir a função e aplicar essas equações para ver se a função é analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função . Para isso, usamos a regra do quadrado para binômios:
Calculando cada termo:
Assim, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a parte real e a parte imaginária de :
Então, temos:
á

Passo 4

Para verificar se a função é analítica, precisamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, para uma função ser analítica, as seguintes condições devem ser verdadeiras:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 5

Calculando as derivadas:
Comparando as duas primeiras equações de C-R:
Agora, a segunda condição:
Comparando:

Passo 6

As Equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas quando e , ou seja, apenas no ponto . Para uma função ser analítica, essas condições precisam ser verdadeiras em uma região aberta do plano complexo, não apenas em um ponto específico.

Resposta

A função não é analítica porque as Equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas no ponto , e não em uma região aberta.

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