Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente precisa verificar se a função
é analítica. Isso está relacionado ao estudo de funções de variável complexa, especialmente se elas são diferenciáveis em todo ponto de um domínio, o que envolve as chamadas Equações de Cauchy-Riemann. Vamos precisar expandir a função e aplicar essas equações para ver se a função é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a função
. Para isso, usamos a regra do quadrado para binômios:
Calculando cada termo:
Assim, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos separar a parte real e a parte imaginária de
:
Então, temos:
Passo 4
Para verificar se a função é analítica, precisamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, para uma função ser analítica, as seguintes condições devem ser verdadeiras:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 5
Calculando as derivadas:
Comparando as duas primeiras equações de C-R:
Agora, a segunda condição:
Comparando:
Passo 6
As Equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas quando
e
, ou seja, apenas no ponto
. Para uma função ser analítica, essas condições precisam ser verdadeiras em uma região aberta do plano complexo, não apenas em um ponto específico.
Resposta
A função
não é analítica porque as Equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas no ponto
, e não em uma região aberta.