Calcule as integrais:
(a) , onde é o quadrado de vértices ;

Passo 1

Vamos resolver a integral onde é o quadrado com vértices em . Aqui, estamos trabalhando com integrais de contorno na análise complexa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica e aplicar o Teorema de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que está sendo integrada, que é . Essa é uma função polinomial, e sabemos que polinômios são funções analíticas em todo o plano complexo. Ou seja, não há pontos onde elas não sejam diferenciáveis.

Passo 3

Segundo, vamos aplicar o Teorema de Cauchy. Esse teorema diz que se uma função é analítica dentro e sobre uma curva fechada , então a integral dessa função ao longo de é zero. No nosso caso, é analítica em toda a região que envolve o quadrado .

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(d)
Calcule as integrais abaixo:
(d) sobre o círculo: ;
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(a)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(d)