Calcule as integrais:
(a)
, onde
é o quadrado de vértices
;
(a)
Passo 1
Vamos resolver a integral
onde
é o quadrado com vértices em
. Aqui, estamos trabalhando com integrais de contorno na análise complexa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica e aplicar o Teorema de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que está sendo integrada, que é
. Essa é uma função polinomial, e sabemos que polinômios são funções analíticas em todo o plano complexo. Ou seja, não há pontos onde elas não sejam diferenciáveis.
Passo 3
Segundo, vamos aplicar o Teorema de Cauchy. Esse teorema diz que se uma função é analítica dentro e sobre uma curva fechada
, então a integral dessa função ao longo de
é zero. No nosso caso,
é analítica em toda a região que envolve o quadrado
.
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(d)
(d)
Calcule as integrais abaixo:
(d) sobre o círculo:
;
(d)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(a)
(a)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(d)
(d)