Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno no caminho . Estamos trabalhando com análise complexa, especificamente usando o teorema dos resíduos para calcular integrais complexas. Para isso, precisamos identificar os pontos onde a função tem singularidades dentro do caminho dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Resolvendo , encontramos . Esse é o ponto singular da função.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do caminho . Calculando o módulo de : , que é menor que 2. Então, o ponto singular está dentro do nosso caminho de integração.

Passo 4

Como temos um ponto singular dentro do caminho, podemos usar o teorema dos resíduos. Esse teorema diz que a integral de uma função ao redor de um caminho fechado é igual a vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro desse caminho.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo da função em . Para funções do tipo , onde tem uma raiz simples em , o resíduo em é .
Aqui, e . Derivando , temos .
Então, o resíduo em é:

Passo 6

Aplicando o teorema dos resíduos:
í

Resposta

A integral no caminho é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais:
(a) , onde é o quadrado de vértices ;
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(d)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(d)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(h)