Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de contorno
no caminho
. Estamos trabalhando com análise complexa, especificamente usando o teorema dos resíduos para calcular integrais complexas. Para isso, precisamos identificar os pontos onde a função
tem singularidades dentro do caminho dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Resolvendo
, encontramos
. Esse é o ponto singular da função.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto
está dentro do caminho
. Calculando o módulo de
:
, que é menor que 2. Então, o ponto singular está dentro do nosso caminho de integração.
Passo 4
Como temos um ponto singular dentro do caminho, podemos usar o teorema dos resíduos. Esse teorema diz que a integral de uma função ao redor de um caminho fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro desse caminho.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo da função
em
. Para funções do tipo
, onde
tem uma raiz simples em
, o resíduo em
é
.
Aqui,
e
. Derivando
, temos
.
Então, o resíduo em
é:
Passo 6
Aplicando o teorema dos resíduos:
Resposta
A integral
no caminho
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
(a) , onde
é o quadrado de vértices
;
(a)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(d)
(d)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(d)
(d)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(h)
(h)