Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(a) oint zz+1 d z, |z|=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno no caminho . Estamos trabalhando com análise complexa, especificamente usando o teorema dos resíduos para calcular integrais complexas. Para isso, precisamos identificar os pontos onde a função tem singularidades dentro do caminho dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Resolvendo , encontramos . Esse é o ponto singular da função.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do caminho . Calculando o módulo de : , que é menor que 2. Então, o ponto singular está dentro do nosso caminho de integração.

Passo 4

Como temos um ponto singular dentro do caminho, podemos usar o teorema dos resíduos. Esse teorema diz que a integral de uma função ao redor de um caminho fechado é igual a vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro desse caminho.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo da função Res(zz+1, -1) = -11 = -1 em . Para funções do tipo , onde tem uma raiz simples em , o resíduo em é .
Aqui, e . Derivando , temos .
Então, o resíduo em é:

Passo 6

Aplicando o teorema dos resíduos:
oint zz+1 , dz = 2pi i times (Resíduo em z = -1) = 2pi i times (-1) = -2pi i í

Resposta

A integral no caminho é igual a .

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