Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o resíduo da função dentro de um contorno que é um círculo de raio 1, ou seja, . Essa questão está no campo da análise complexa, especificamente no cálculo de resíduos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Laurent e como identificar o resíduo de uma função nessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o resíduo de uma função em um ponto é o coeficiente do termo na expansão em série de Laurent da função ao redor desse ponto . No nosso caso, , já que a função tem uma singularidade em .

Passo 3

Agora, vamos expandir em uma série de Taylor, que é válida para todo :
Isso significa que podemos reescrever a função da seguinte maneira:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o resíduo, que é o coeficiente de nessa série. Isso ocorre quando o expoente de na série é :
Então, o resíduo será o termo correspondente a :
í

Resposta

O resíduo da função no contorno é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
(d) sobre o círculo: ;
Inverta a ordem de integração.
(g)
Calcule as integrais:
(a) , onde é o quadrado de vértices ;
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(a)