Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o resíduo da função
dentro de um contorno que é um círculo de raio 1, ou seja,
. Essa questão está no campo da análise complexa, especificamente no cálculo de resíduos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Laurent e como identificar o resíduo de uma função nessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o resíduo de uma função em um ponto é o coeficiente do termo
na expansão em série de Laurent da função ao redor desse ponto
. No nosso caso,
, já que a função tem uma singularidade em
.
Passo 3
Agora, vamos expandir
em uma série de Taylor, que é válida para todo
:
Isso significa que podemos reescrever a função
da seguinte maneira:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o resíduo, que é o coeficiente de
nessa série. Isso ocorre quando o expoente de
na série é
:
Então, o resíduo será o termo correspondente a
:
Resposta
O resíduo da função
no contorno
é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
(d) sobre o círculo:
;
(d)
Inverta a ordem de integração.
(g)
(g)
Calcule as integrais:
(a) , onde
é o quadrado de vértices
;
(a)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(a)
(a)