Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares. , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente precisa calcular usando coordenadas polares. O enunciado pede para integrar a função sobre a região que é definida por e . Isso significa que estamos trabalhando com uma área circular de raio 2, mas só o lado direito dessa circunferência porque é maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e ajustar a integral de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Em coordenadas cartesianas, representa um círculo com raio 2 centrado na origem. Como , estamos considerando apenas a metade direita desse círculo. Em coordenadas polares, isso corresponde a variando de 0 a 2 e variando de a , ou de 0 a se preferir trabalhar com ângulos positivos.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar, , em coordenadas polares. Sabemos que e , então . Substituindo isso na função, temos:
Passo 4
Vamos montar a integral dupla em coordenadas polares. Lembrando que o elemento de área em coordenadas polares é , a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Para resolver isso, fazemos uma substituição. Deixe , então , o que implica que . A integral vira:
Integrando, temos:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: