Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares. , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente precisa calcular usando coordenadas polares. O enunciado pede para integrar a função sobre a região que é definida por e . Isso significa que estamos trabalhando com uma área circular de raio 2, mas só o lado direito dessa circunferência porque é maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e ajustar a integral de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Em coordenadas cartesianas, representa um círculo com raio 2 centrado na origem. Como , estamos considerando apenas a metade direita desse círculo. Em coordenadas polares, isso corresponde a variando de 0 a 2 e variando de a , ou de 0 a se preferir trabalhar com ângulos positivos.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar, , em coordenadas polares. Sabemos que e , então . Substituindo isso na função, temos:

Passo 4

Vamos montar a integral dupla em coordenadas polares. Lembrando que o elemento de área em coordenadas polares é , a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Para resolver isso, fazemos uma substituição. Deixe , então , o que implica que . A integral vira:
Integrando, temos:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
Considere a integral
a) Calcule a integral.
Seja a região em limitada pelas linhas e . Determine o valor de sen , sem realizar o cálculo das integrais iteradas.
Considere a integral
c) Inverta a ordem de integração e calcule a nova integral iterada e compare o resultado obtido em a)