Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares. integral dupla raiz4-x^2-y^2 d A, onde R=(x, y): x^2+y^2 <= 4, x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente precisa calcular usando coordenadas polares. O enunciado pede para integrar a função raiz4 - x^2 - y^2 sobre a região R que é definida por x^2 + y^2 <= 4 e x >= 0. Isso significa que estamos trabalhando com uma área circular de raio 2, mas só o lado direito dessa circunferência porque x é maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e ajustar a integral de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração R. Em coordenadas cartesianas, x^2 + y^2 <= 4 representa um círculo com raio 2 centrado na origem. Como x >= 0, estamos considerando apenas a metade direita desse círculo. Em coordenadas polares, isso corresponde a r variando de 0 a 2 e theta variando de -pi2 a pi2, ou de 0 a pi se preferir trabalhar com ângulos positivos.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar, raiz4 - x^2 - y^2, em coordenadas polares. Sabemos que x = rcostheta e y = rsintheta, então x^2 + y^2 = r^2. Substituindo isso na função, temos:
raiz4 - r^2

Passo 4

Vamos montar a integral dupla em coordenadas polares. Lembrando que o elemento de área dA em coordenadas polares é r dr dtheta, a integral fica:
integraltheta=0^pi integralr=0^2 raiz4 - r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^2 r raiz4 - r^2 , dr
Para resolver isso, fazemos uma substituição. Deixe u = 4 - r^2, então du = -2r dr, o que implica que - 12 du = r dr. A integral vira:
- 12 integralu=4^u=0 raizu , du = 12 integral0^4 u^1/2 , du
Integrando, temos:
12 cdot 23 u^3/2 |0^4 = 13 (4^3/2 - 0) = 13 cdot 8 = 83

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi 83 , dtheta = 83 cdot pi = 8pi3

Resposta

A integral dupla vale 8pi3.

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