Considere a integral
a) Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla. Isso faz parte do Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais sobre regiões no plano. Vamos precisar entender os limites de integração e a função que estamos integrando para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral que temos:
Aqui, estamos integrando a função
primeiro em relação a
, de
até
, e depois em relação a
, de
até
.
Passo 3
Vamos começar integrando
em relação a
. Como
não depende de
, a integral em relação a
é simples:
Aqui, multiplicamos
pela diferença nos limites de
, que é
.
Passo 4
Agora, temos que resolver a integral resultante em relação a
:
Vamos expandir essa expressão para facilitar a integração:
Passo 5
Com a expressão simplificada, vamos integrar termo a termo:
Agora, substituímos
e
na expressão antiderivada:
Para
:
Para
:
Resposta
A integral vale 4.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a região triangular com vértices
.
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Calcule as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares.
, onde
.