Considere a integral
integral0^2 integralx^2^2 x(2 x+1) d y d x
a) Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla. Isso faz parte do Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais sobre regiões no plano. Vamos precisar entender os limites de integração e a função que estamos integrando para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral que temos:
integral0^2 integralx^2^2 x(2 x+1) , dy , dx
Aqui, estamos integrando a função primeiro em relação a , de até , e depois em relação a , de até .

Passo 3

Vamos começar integrando integralx^2^2x (2x + 1) , dy = (2x + 1) cdot (2x - x^2) em relação a . Como não depende de , a integral em relação a é simples:
Aqui, multiplicamos pela diferença nos limites de , que é .

Passo 4

Agora, temos que resolver a integral resultante em relação a integral0^2 (2x + 1)(2x - x^2) , dx :
(2x + 1)(2x - x^2) = 4x^2 - 2x^3 + 2x - x^2 = 3x^2 - 2x^3 + 2x
Vamos expandir essa expressão para facilitar a integração:

Passo 5

Com a expressão simplificada, vamos integrar termo a termo:
integral0^2 (3x^2 - 2x^3 + 2x) , dx = [ x^3 - 2x^44 + x^2 ]0^2 = [ x^3 - x^42 + x^2 ]0^2
Agora, substituímos (8) - 162 + 4 = 8 - 8 + 4 = 4 e 0 - 0 + 0 = 0 na expressão antiderivada:
Para :
Para :

Resposta

A integral vale 4.

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