Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla abaixo:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que envolvem integrar uma função de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar em duas etapas: primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é a integral em relação a :
Note que é uma constante em relação a , então podemos tirá-la de fora da integral:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral:
Para isso, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Agora, substituímos na integral:
Passo 4
Simplificamos a expressão:
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou identidade hiperbólica, mas uma abordagem mais direta é reconhecer que:
No entanto, isso não se ajusta diretamente, então vamos usar integral por partes. Definimos:
E:
Aplicando a integração por partes:
Isso leva a uma expressão mais complexa, sugerindo que uma substituição diferente pode ser mais fácil. Em vez disso, usamos a substituição hiperbólica:
Então:
Substituindo na integral:
Usando identidades hiperbólicas:
Então:
Sabemos que:
E:
Voltando para t = sinh^-1 u Rightarrow tanh t2 = u1 + raiz1 + u^2 :
raiz1 + u^2 + ln ( u + raiz1 + u^2 ) + C
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Voltando à nossa substituição original, onde integral raiz1 + e^2y , dy = raiz1 + e^2y + ln ( e^y + raiz1 + e^2y ) + C , temos:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de [ raiz1 + e^2y + ln ( e^y + raiz1 + e^2y ) ]0^ln x a raiz1 + e^2 ln x + ln ( e^ln x + raiz1 + e^2 ln x ) = raiz1 + x^2 + ln ( x + raiz1 + x^2 ) :
As integrais mais complicadas (1 e 2) envolvem funções que não têm primitiva em termos de funções elementares, então geralmente são resolvidas numericamente. Porém, para fins de resposta, podemos expressar a solução final combinando todas as partes:
[ Integral 1 + Integral 2 - raiz22 - ln(1 + raiz2)2 ]
Resposta
A solução da integral dupla é dada por:
integral1^2 integral0^ln x (x-1) raiz1 + e^2y , dy , dx = Integral 1 + Integral 2 - raiz22 - ln(1 + raiz2)2
As integrais mais complexas (Integral 1 e Integral 2) geralmente são calculadas numericamente para obter um valor aproximado.