Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla abaixo:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que envolvem integrar uma função de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar em duas etapas: primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é a integral em relação a :
Note que é uma constante em relação a , então podemos tirá-la de fora da integral:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral:
Para isso, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Agora, substituímos na integral:
Passo 4
Simplificamos a expressão:
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou identidade hiperbólica, mas uma abordagem mais direta é reconhecer que:
No entanto, isso não se ajusta diretamente, então vamos usar integral por partes. Definimos:
E:
Aplicando a integração por partes:
Isso leva a uma expressão mais complexa, sugerindo que uma substituição diferente pode ser mais fácil. Em vez disso, usamos a substituição hiperbólica:
Então:
Substituindo na integral:
Usando identidades hiperbólicas:
Então:
Sabemos que:
E:
Voltando para :
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Voltando à nossa substituição original, onde , temos:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Substituindo os limites:
Para :
Para :
Então, a integral interna fica:
Passo 7
Agora, voltamos à integral externa:
Precisamos integrar isso de a :
Passo 8
Essa integral pode ser dividida em partes mais simples:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 9
Resolvendo a terceira integral:
Resolvendo a quarta integral:
Passo 10
As integrais mais complicadas (1 e 2) envolvem funções que não têm primitiva em termos de funções elementares, então geralmente são resolvidas numericamente. Porém, para fins de resposta, podemos expressar a solução final combinando todas as partes:
Resposta
A solução da integral dupla é dada por:
As integrais mais complexas (Integral 1 e Integral 2) geralmente são calculadas numericamente para obter um valor aproximado.