Seja
a região em
limitada pelas linhas
e
. Determine o valor de
sen
, sem realizar o cálculo das integrais iteradas.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma região
no plano
que é limitada pelas linhas
,
e
. O objetivo é calcular a integral dupla
sem resolver as integrais iteradas diretamente. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como definir os limites de integração para a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
. As três linhas que definem
são:
-
(o eixo ), -
, -
.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas linhas para entender melhor a forma da região.
Passo 3
Resolvendo
e
juntas:
Somando as duas equações:
Substituindo
em
:
Então, as interseções são:
- Entre
e : , - Entre
e : , - Entre
e : .
Isso forma um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 4
Agora que temos a região
definida, vamos configurar a integral dupla. Podemos escolher integrar em relação a
primeiro ou a
primeiro. Vamos escolher integrar em
primeiro.
Para
variando de
a
, para cada
,
varia de
a
. Isso porque as linhas
e
resolvem para
e
, respectivamente.
Passo 5
Portanto, podemos expressar a integral dupla como:
Resposta
A integral dupla sobre a região
pode ser expressa como:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares.
, onde
.
Calcule as integrais abaixo:
Considere a integral
c) Inverta a ordem de integração e calcule a nova integral iterada e compare o resultado obtido em a)
Calcule as integrais abaixo: