Seja D a região em R^2 limitada pelas linhas x=0, x+y=3 e x-y=3. Determine o valor de integral duplaD(y^3-e^x^2 sen y+2) d A, sem realizar o cálculo das integrais iteradas.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma região no plano que é limitada pelas linhas , e . O objetivo é calcular a integral dupla sem resolver as integrais iteradas diretamente. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como definir os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região . As três linhas que definem são:
  1. (o eixo ),
  2. ,
  3. .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas linhas para entender melhor a forma da região.

Passo 3

Resolvendo x + y = 3 x - y = 3 e 2x = 6 implies x = 3 juntas:
3 + y = 3 implies y = 0
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Então, as interseções são:
  • Entre e : ,
  • Entre e : ,
  • Entre e : .
Isso forma um triângulo com vértices em , e .

Passo 4

Agora que temos a região definida, vamos configurar a integral dupla. Podemos escolher integrar em relação a primeiro ou a primeiro. Vamos escolher integrar em primeiro.
Para variando de a , para cada , varia de a . Isso porque as linhas e resolvem para e , respectivamente.

Passo 5

Portanto, podemos expressar a integral dupla como:
integral duplaD (y^3 - e^x^2 sin(y + 2)) dA = integral0^3 integralx - 3^3 - x (y^3 - e^x^2 sin(y + 2)) dy , dx

Resposta

A integral dupla sobre a região integral duplaD (y^3 - e^x^2 sin(y + 2)) dA = integral0^3 integralx - 3^3 - x (y^3 - e^x^2 sin(y + 2)) dy , dx pode ser expressa como:

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