Seja a região em limitada pelas linhas e . Determine o valor de sen , sem realizar o cálculo das integrais iteradas.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma região no plano que é limitada pelas linhas , e . O objetivo é calcular a integral dupla sem resolver as integrais iteradas diretamente. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como definir os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região . As três linhas que definem são:
  1. (o eixo ),
  2. ,
  3. .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas linhas para entender melhor a forma da região.

Passo 3

Resolvendo e juntas:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Então, as interseções são:
  • Entre e : ,
  • Entre e : ,
  • Entre e : .
Isso forma um triângulo com vértices em , e .

Passo 4

Agora que temos a região definida, vamos configurar a integral dupla. Podemos escolher integrar em relação a primeiro ou a primeiro. Vamos escolher integrar em primeiro.
Para variando de a , para cada , varia de a . Isso porque as linhas e resolvem para e , respectivamente.

Passo 5

Portanto, podemos expressar a integral dupla como:

Resposta

A integral dupla sobre a região pode ser expressa como:

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Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares. , onde .
Calcule as integrais abaixo:
Considere a integral
c) Inverta a ordem de integração e calcule a nova integral iterada e compare o resultado obtido em a)
Calcule as integrais abaixo: