Considere a integral
c) Inverta a ordem de integração e calcule a nova integral iterada e compare o resultado obtido em a)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral dupla onde a ordem de integração originalmente é em primeiro e depois . O conteúdo aqui é sobre cálculo de integrais duplas e como mudar a ordem de integração. Pra resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região de integração e ajustar os limites para inverter a ordem que a gente integra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. A integral que a gente tem é:
Isso significa que varia de 0 a 2, e para cada , varia de até .

Passo 3

Agora, pra inverter a ordem da integração, a gente precisa reescrever a região de integração de forma que varie primeiro e depois . Pra isso, vamos entender melhor como as curvas e se comportam e onde elas se encontram.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Igualando e :
Então, as interseções são nos pontos e . Isso corresponde aos pontos e .

Passo 5

Com isso, sabemos que varia de 0 a 4. Agora, pra cada nesse intervalo, precisamos determinar como varia. A curva pode ser reescrita como e como . Então, para cada , vai de até .

Passo 6

Agora que temos os novos limites, vamos reescrever a integral com a ordem invertida:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Avaliado nos limites:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 4:
Podemos separar essa integral em três partes:

Passo 9

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
  1. Terceira integral:

Passo 10

Agora, somando os resultados das três integrais:

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida resulta em , que é o mesmo valor obtido na parte a).

Exercícios relacionados

Seja a região em limitada pelas linhas e . Determine o valor de sen , sem realizar o cálculo das integrais iteradas.
Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares. , onde .
Calcule as integrais abaixo:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: