Considere a integral
c) Inverta a ordem de integração e calcule a nova integral iterada e compare o resultado obtido em a)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral dupla onde a ordem de integração originalmente é em
primeiro e depois
. O conteúdo aqui é sobre cálculo de integrais duplas e como mudar a ordem de integração. Pra resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região de integração e ajustar os limites para inverter a ordem que a gente integra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. A integral que a gente tem é:
Isso significa que
varia de 0 a 2, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, pra inverter a ordem da integração, a gente precisa reescrever a região de integração de forma que
varie primeiro e depois
. Pra isso, vamos entender melhor como as curvas
e
se comportam e onde elas se encontram.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Igualando
e
:
Então, as interseções são nos pontos
e
. Isso corresponde aos pontos
e
.
Passo 5
Com isso, sabemos que
varia de 0 a 4. Agora, pra cada
nesse intervalo, precisamos determinar como
varia. A curva
pode ser reescrita como
e
como
. Então, para cada
,
vai de
até
.
Passo 6
Agora que temos os novos limites, vamos reescrever a integral com a ordem invertida:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Integrando termo a termo:
Avaliado nos limites:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 4:
Podemos separar essa integral em três partes:
Passo 9
Vamos calcular cada uma dessas integrais:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
- Terceira integral:
Passo 10
Agora, somando os resultados das três integrais:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida resulta em
, que é o mesmo valor obtido na parte a).
Exercícios relacionados
Seja
a região em
limitada pelas linhas
e
. Determine o valor de
sen
, sem realizar o cálculo das integrais iteradas.
Calcule as integrais abaixo, colocando-as em coordenadas polares.
, onde
.
Calcule as integrais abaixo:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: