Considere a integral
integral0^2 integralx^2^2 x(2 x+1) d y d x
c) Inverta a ordem de integração e calcule a nova integral iterada e compare o resultado obtido em a)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral dupla onde a ordem de integração originalmente é em primeiro e depois . O conteúdo aqui é sobre cálculo de integrais duplas e como mudar a ordem de integração. Pra resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região de integração e ajustar os limites para inverter a ordem que a gente integra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. A integral que a gente tem é:
integral0^2 integralx^2^2x (2x + 1) , dy , dx
Isso significa que varia de 0 a 2, e para cada , varia de até .

Passo 3

Agora, pra inverter a ordem da integração, a gente precisa reescrever a região de integração de forma que varie primeiro e depois . Pra isso, vamos entender melhor como as curvas e se comportam e onde elas se encontram.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Igualando x^2 = 2x x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 e :
Então, as interseções são nos pontos e . Isso corresponde aos pontos e .

Passo 5

Com isso, sabemos que varia de 0 a 4. Agora, pra cada nesse intervalo, precisamos determinar como varia. A curva pode ser reescrita como e como . Então, para cada , vai de até .

Passo 6

Agora que temos os novos limites, vamos reescrever a integral com a ordem invertida:
integral0^4 integraly2^raizy (2x + 1) , dx , dy

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integraly2^raizy (2x + 1) , dx :
integral (2x + 1) , dx = x^2 + x + C
Integrando termo a termo:
[ x^2 + x ]y2^raizy = ( (raizy)^2 + raizy ) - ( ( y2 )^2 + y2 )
Avaliado nos limites:
(y + raizy) - ( y^24 + y2 ) = y + raizy - y^24 - y2 = y2 + raizy - y^24
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^4 ( y2 + raizy - y^24 ) , dy de 0 a 4:
integral0^4 y2 , dy + integral0^4 raizy , dy - integral0^4 y^24 , dy
Podemos separar essa integral em três partes:

Passo 9

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. Primeira integral:
integral y2 , dy = y^24 [ y^24 ]0^4 = 164 - 0 = 4
  1. Segunda integral:
integral raizy , dy = 23 y^3/2 [ 23 y^3/2 ]0^4 = 23 times 8 = 163
  1. Terceira integral:
integral y^24 , dy = y^312 [ y^312 ]0^4 = 6412 = 163

Passo 10

Agora, somando os resultados das três integrais:
4 + 163 - 163 = 4

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida resulta em , que é o mesmo valor obtido na parte a).

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