Determine o conjunto derivado de cada um dos subconjuntos de R. Encontre o supremo e o ínfimo dos seguintes conjuntos.
c) C = { 1/n : n em Z }

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto . Precisamos determinar o conjunto derivado de e encontrar o supremo e o ínfimo desse conjunto. Vamos usar conceitos de análise matemática, como pontos de acumulação (conjunto derivado), supremo e ínfimo de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o conjunto . Aqui, pertence aos números inteiros . Porém, como não está definido, consideramos . Assim, inclui valores como .

Passo 3

Agora, vamos determinar o conjunto derivado de . O conjunto derivado, ou conjunto de pontos de acumulação, é formado por todos os pontos que podem ser alcançados como limites de sequências dentro de . Observando , à medida que aumenta, se aproxima de 0. Portanto, 0 é um ponto de acumulação de .

Passo 4

Vamos verificar se existem outros pontos de acumulação além de 0. Note que os elementos de são isolados exceto por 0, ou seja, não existem outras sequências em que se aproximem de algum outro número além de 0. Portanto, o único ponto de acumulação de é 0.

Passo 5

Por fim, vamos encontrar o supremo e o ínfimo de . O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Já o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. Observando , o maior valor é e o menor valor é . Portanto, o supremo de é e o ínfimo é .

Resposta

O conjunto derivado de é , o supremo de é e o ínfimo de é .

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