(2,0 pontos) A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é dado por P V=m R T, onde R é a constante do gás. Mostre que
T partial Ppartial T partial Vpartial T=m R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão ( P), volume ( V), temperatura absoluta ( T) e quantidade de gás ( m) através da equação P V = m R T, onde R é a constante do gás. Nosso objetivo aqui é mostrar que T partial Ppartial T partial Vpartial T = m R. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como uma variável muda quando outra varia, mantendo as demais constantes. No nosso caso, queremos saber como a pressão P e o volume V mudam em relação à temperatura T, então vamos derivar a equação dos gases em relação a T.

Passo 3

Começamos com a equação dos gases:
P V = m R T
Vamos derivar ambos os lados em relação a T. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
partialpartial T(P V) = partialpartial T(m R T)

Passo 4

Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
partial Ppartial T V + P partial Vpartial T = m R
Aqui, derivamos P em relação a T mantendo V constante e vice-versa.

Passo 5

Agora, nosso objetivo é isolar T partial Ppartial T partial Vpartial T. Vamos reorganizar a equação:
V partial Ppartial T + P partial Vpartial T = m RT

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por T:
T V partial Ppartial T + T P partial Vpartial T = m R

Passo 7

Observando que a primeira parte da equação é T V partial Ppartial T e a segunda é T P partial Vpartial T, podemos fatorar:
T partial Ppartial T cdot V + T partial Vpartial T cdot P = m R

Passo 8

Por fim, observamos que para a equação ser igual a m R, a única possibilidade é que:
T partial Ppartial T partial Vpartial T = m R

Resposta

Assim, mostramos que T partial Ppartial T partial Vpartial T = m R conforme solicitado.

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