(2,0 pontos) A lei dos gases para uma massa fixa
de um gás ideal à temperatura absoluta
, pressão
e volume
é dado por
, onde
é a constante do gás. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão (
), volume (
), temperatura absoluta (
) e quantidade de gás (
) através da equação
, onde
é a constante do gás. Nosso objetivo aqui é mostrar que
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como uma variável muda quando outra varia, mantendo as demais constantes. No nosso caso, queremos saber como a pressão
e o volume
mudam em relação à temperatura
, então vamos derivar a equação dos gases em relação a
.
Passo 3
Começamos com a equação dos gases:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Passo 4
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
Aqui, derivamos
em relação a
mantendo
constante e vice-versa.
Passo 5
Agora, nosso objetivo é isolar
. Vamos reorganizar a equação:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Observando que a primeira parte da equação é
e a segunda é
, podemos fatorar:
Passo 8
Por fim, observamos que para a equação ser igual a
, a única possibilidade é que:
Resposta
Assim, mostramos que
conforme solicitado.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto derivado de cada um dos subconjuntos de R. Encontre o supremo e o ínfimo dos seguintes conjuntos.
c)
c)
Calcule as integrais abaixo:
(d)
(d)
Determine o domínio das seguintes funções:
a)
a)
Inverta a ordem de integração.
(f) .
(f)