Calcule as integrais abaixo:
(d) integral(x+2)(x^2+4 x+2)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral(x+2)(x^2+4 x+2)^5 dx. A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo de integrais, mais especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável nova, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, olha só a parte complicadinha da integral: (x^2+4 x+2)^5. Vamos chamar essa expressão de u, ou seja, seja:
u = x^2 + 4x + 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para ver como isso nos ajuda na substituição. Então, derivando u:
dudx = 2x + 4
Isso pode ser rearranjado para:
du = (2x + 4) dx

Passo 4

Observa o que temos na integral original: (x + 2). Se a gente comparar com a derivada que encontramos, que é (2x + 4), dá pra ver que:
2(x + 2) = 2x + 4
Então, podemos reescrever du como:
du = 2(x + 2) dx Rightarrow (x + 2) dx = du2

Passo 5

Agora, substituímos tudo de x para u na integral:
integral(x + 2)(x^2 + 4x + 2)^5 dx = integral (x + 2) cdot u^5 dx
Usando a relação que achamos:
= integral u^5 cdot du2 = 12 integral u^5 du

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
12 integral u^5 du
Integrando u^5:
integral u^5 du = u^66 + C
Então:
12 cdot u^66 = u^612 + C

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
u^612 + C = (x^2 + 4x + 2)^612 + C

Resposta

integral(x+2)(x^2+4 x+2)^5 dx = (x^2 + 4x + 2)^612 + C

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