Calcule as integrais abaixo:
(i)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral racional, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e derivação. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Isso ajuda a identificar uma substituição adequada. Olha só:
Para completar o quadrado, pegamos os termos quadráticos e lineares:
Então, substituindo de volta:
Agora, a integral fica:
Passo 3
Observamos que o numerador
está relacionado à derivada do denominador. Vamos verificar:
A derivada de
em relação a
é:
Notamos que:
Isso é útil porque podemos reescrever a integral usando essa relação.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Podemos rearranjar para achar
:
Mas já vimos que
, então podemos substituir na integral:
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Integrando:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando os denominadores:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral vale
.