Calcule as integrais abaixo:
(i) integral-1^1 3 x+6(x^2+4 x+5)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida:
integral-1^1 3x + 6(x^2 + 4x + 5)^2 , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral racional, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e derivação. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Isso ajuda a identificar uma substituição adequada. Olha só:
x^2 + 4x + 5
Para completar o quadrado, pegamos os termos quadráticos e lineares:
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
Então, substituindo de volta:
x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 - 4 + 5 = (x + 2)^2 + 1
Agora, a integral fica:
integral-1^1 3x + 6((x + 2)^2 + 1)^2 , dx

Passo 3

Observamos que o numerador ddx(x^2 + 4x + 5) = 2x + 4 está relacionado à derivada do denominador. Vamos verificar:
A derivada de 3x + 6 = 32 times (2x + 4) em relação a é:
Notamos que:
Isso é útil porque podemos reescrever a integral usando essa relação.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = x^2 + 4x + 5
Então, a derivada de du = (2x + 4) , dx em relação a dx = du2x + 4 é:
integral 3x + 6u^2 , dx = integral 32 times (2x + 4)u^2 times du2x + 4 = 32 integral 1u^2 , du
Podemos rearranjar para achar :
Mas já vimos que , então podemos substituir na integral:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
32 integral u^-2 , du
Integrando:
32 times ( u^-1-1 ) + C = -32 times 1u + C
Substituindo -32 times 1x^2 + 4x + 5 + C :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de [ -32 times 1x^2 + 4x + 5 ]-1^1 = -32 ( 11^2 + 4(1) + 5 - 1(-1)^2 + 4(-1) + 5 ) a 1^2 + 4(1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 :
(-1)^2 + 4(-1) + 5 = 1 - 4 + 5 = 2
Calculando os denominadores:
Para -32 ( 110 - 12 ) = -32 ( 1 - 510 ) = -32 times ( -410 ) = 32 times 410 = 1220 = 35 :
Para :
Substituindo de volta:

Resposta

A integral vale .

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