Calcule as integrais abaixo:
(l) integral1^e x^2 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Integração por Partes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de integração por partes, onde a gente escolhe partes da função para serem e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função vai ser e qual vai ser . Aqui, vou escolher:
  • (porque a derivada de é mais simples)
Agora, vamos calcular e :
  • Derivando , temos
  • Integrando , temos

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2 ln x , dx = ln x cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
= x^3 ln x3 - 13 integral x^2 , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral restante integral x^2 , dx = x^33 + C :
= x^3 ln x3 - 13 cdot x^33 + C = x^3 ln x3 - x^39 + C
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a [ x^3 ln x3 - x^39 ]1^e :
e^3 ln e3 - e^39 = e^3 cdot 13 - e^39 = e^33 - e^39 = 2e^39
Calculando para 1^3 ln 13 - 1^39 = 03 - 19 = -19 :
2e^39 - (-19) = 2e^39 + 19 = 2e^3 + 19
Calculando para :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A integral é igual a .

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