Calcule as integrais abaixo:
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para integrar o produto de duas funções, nesse caso, e ².

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada, e como o restante.

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, vamos derivar para encontrar e integrar para encontrar .

Passo 4

Derivando :
Integrando :

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma divisão de polinômios.

Passo 7

Dividindo por :
Então:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral:
Calculando cada integral separadamente.

Passo 9

Integrando :
Integrando :
Aqui, fazemos a substituição:
Então:

Passo 10

Voltando às integrais:

Passo 11

Voltamos à nossa expressão original da integração por partes:
Simplificando isso:

Resposta

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