Calcule as integrais abaixo:
(g) integral 2 x ln (x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente em integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para integrar o produto de duas funções, nesse caso, e ².

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada, e como o restante.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(x^2 + 1)
dv = 2x , dx
Agora, vamos derivar para encontrar e integrar para encontrar .

Passo 4

Derivando du = ddx ln(x^2 + 1) , dx = 2xx^2 + 1 , dx :
v = integral 2x , dx = x^2
Integrando :

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo integral 2x ln(x^2 + 1) , dx = ln(x^2 + 1) cdot x^2 - integral x^2 cdot 2xx^2 + 1 , dx , , :

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x^2 cdot 2xx^2 + 1 , dx = 2 integral x^3x^2 + 1 , dx
Para resolver essa integral, vamos fazer uma divisão de polinômios.

Passo 7

Dividindo x^3 = x cdot (x^2 + 1) - x por x^3x^2 + 1 = x - xx^2 + 1 :
Então:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral:
2 integral ( x - xx^2 + 1 ) dx = 2 ( integral x , dx - integral xx^2 + 1 , dx )
Calculando cada integral separadamente.

Passo 9

Integrando integral x , dx = x^22 :
w = x^2 + 1 Rightarrow dw = 2x , dx Rightarrow dw2 = x , dx
Integrando integral xx^2 + 1 , dx = 12 ln(x^2 + 1) + C :
Aqui, fazemos a substituição:
Então:

Passo 10

Voltando às integrais:
2 ( x^22 - 12 ln(x^2 + 1) ) = x^2 - ln(x^2 + 1)

Passo 11

Voltamos à nossa expressão original da integração por partes:
integral 2x ln(x^2 + 1) , dx = x^2 ln(x^2 + 1) - ( x^2 - ln(x^2 + 1) )
Simplificando isso:
x^2 ln(x^2 + 1) - x^2 + ln(x^2 + 1) = (x^2 + 1) ln(x^2 + 1) - x^2

Resposta

integral 2x ln(x^2 + 1) , dx = (x^2 + 1) ln(x^2 + 1) - x^2 + C

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