Calcule as integrais abaixo:
(d) oint(1z+1+2z-3) d z sobre o círculo: |z|=4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo complexo juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno sobre o círculo onde . Isso envolve conceitos de integrais complexas e, mais especificamente, o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função dentro da integral não é analítica, ou seja, onde ela tem singularidades. Olhando para , vemos que há singularidades em e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas singularidades estão dentro do círculo . Calculando os módulos:
  • Para : , que é menor que 4.
  • Para : , que também é menor que 4.
Então, ambas as singularidades estão dentro do nosso contorno.

Passo 4

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno. Vamos encontrar esses resíduos.

Passo 5

Para Residuo = limz to -1 (z + 1) cdot 1z+1 = 1 :
Residuo = limz to 3 (z - 3) cdot 2z-3 = 2
Para :

Passo 6

Somando os resíduos:
1 + 2 = 3

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

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