Calcule as integrais abaixo:
(d)
sobre o círculo:
;
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo complexo juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno
sobre o círculo onde
. Isso envolve conceitos de integrais complexas e, mais especificamente, o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função dentro da integral não é analítica, ou seja, onde ela tem singularidades. Olhando para
, vemos que há singularidades em
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas singularidades estão dentro do círculo
. Calculando os módulos:
- Para
: , que é menor que 4. - Para
: , que também é menor que 4.
Então, ambas as singularidades estão dentro do nosso contorno.
Passo 4
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a
vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno. Vamos encontrar esses resíduos.
Passo 5
Para
:
Para
:
Passo 6
Somando os resíduos:
Resposta
Portanto, a integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração.
(g)
(g)
Inverta a ordem de integração.
(b)
(b)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(d)
(d)
Calcule as integrais:
(a) , onde
é o quadrado de vértices
;
(a)