Calcule as integrais abaixo:
(d) sobre o círculo: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo complexo juntos! A gente precisa calcular a integral de contorno sobre o círculo onde . Isso envolve conceitos de integrais complexas e, mais especificamente, o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função dentro da integral não é analítica, ou seja, onde ela tem singularidades. Olhando para , vemos que há singularidades em e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas singularidades estão dentro do círculo . Calculando os módulos:
  • Para : , que é menor que 4.
  • Para : , que também é menor que 4.
Então, ambas as singularidades estão dentro do nosso contorno.

Passo 4

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno. Vamos encontrar esses resíduos.

Passo 5

Para :
Para :

Passo 6

Somando os resíduos:

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

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Inverta a ordem de integração.
(g)
Inverta a ordem de integração.
(b)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(d)
Calcule as integrais:
(a) , onde é o quadrado de vértices ;