Inverta a ordem de integração.
(g)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
Aqui, trabalharemos com integração dupla e mudança de ordem de integração. Para isso, precisamos entender a região de integração no plano e definir novos limites para e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração originais:
  • varia de 1 a .
  • Para cada , varia de a .
Para visualizar melhor, vamos desenhar a região de integração no plano .

Passo 3

Vamos traçar as curvas que definem os limites de :
  1. : Esta é uma curva logarítmica que aumenta lentamente.
  2. : Esta é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 1.
Além disso, varia de 1 a . Vamos ver onde essas curvas se interceptam:
  • Em , .
  • Em , .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a região:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de (obtido de ) a .
Portanto, os novos limites de integração serão:
  • de 0 a 1.
  • de a .

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:

Resposta

A ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração.
(b)
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(e) , para um contorno C sobre o círculo: .
Calcule as integrais abaixo:
(d) sobre o círculo: ;
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(d)