Inverta a ordem de integração.
(g)
(g)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
Aqui, trabalharemos com integração dupla e mudança de ordem de integração. Para isso, precisamos entender a região de integração no plano
e definir novos limites para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração originais:
-
varia de 1 a . - Para cada
, varia de a .
Para visualizar melhor, vamos desenhar a região de integração no plano
.
Passo 3
Vamos traçar as curvas que definem os limites de
:
-
: Esta é uma curva logarítmica que aumenta lentamente. -
: Esta é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 1.
Além disso,
varia de 1 a
. Vamos ver onde essas curvas se interceptam:
- Em
, . - Em
, .
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando a região:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de (obtido de ) a .
Portanto, os novos limites de integração serão:
-
de 0 a 1. -
de a .
Passo 5
Agora, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração.
(b)
(b)
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(e) , para um contorno C sobre o círculo:
.
(e)
Calcule as integrais abaixo:
(d) sobre o círculo:
;
(d)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(d)
(d)