Inverta a ordem de integração.
(g) integral1^e[integralln x^x f(x, y) d y] d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
integral1^e[integralln x^x f(x, y) , dy] dx
Aqui, trabalharemos com integração dupla e mudança de ordem de integração. Para isso, precisamos entender a região de integração no plano e definir novos limites para e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração originais:
  • varia de 1 a .
  • Para cada , varia de a .
Para visualizar melhor, vamos desenhar a região de integração no plano .

Passo 3

Vamos traçar as curvas que definem os limites de :
  1. : Esta é uma curva logarítmica que aumenta lentamente.
  2. : Esta é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 1.
Além disso, varia de 1 a . Vamos ver onde essas curvas se interceptam:
  • Em , .
  • Em , .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a região:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de (obtido de ) a .
Portanto, os novos limites de integração serão:
  • de 0 a 1.
  • de a .

Passo 5

Agora, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^1[integrale^y^e f(x, y) , dx] dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^1[integrale^y^e f(x, y) , dx] dy

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