Inverta a ordem de integração.
(b) integral0^1[integralraizx-x^2^raiz2 x f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para inverter a ordem de integração da integral dada. O conteúdo aqui é sobre integração múltipla, especificamente a troca da ordem de integração em integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender a região de integração e como ela se comporta no plano XY.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração originais:
integral0^1[integralraizx - x^2^raiz2 x f(x, y) , dy] dx
Aqui, para cada valor de entre 0 e 1, varia de até .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região de integração no plano XY. Precisamos identificar as curvas que definem os limites de em termos de :
Também sabemos que varia de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver y^2 = x - x^2 x^2 - x + y^2 = 0 x = 1 pm raiz1 - 4y^22 para x = y^22 :
Isso nos dá os valores de em termos de .
Para :

Passo 5

Determinar os novos limites de integração implica identificar até onde raizx - x^2 = raiz2x x - x^2 = 2x x - x^2 - 2x = 0 - x^2 - x = 0 x(x + 1) = 0 x = 0 ou x = -1 varia. Observando as interseções das duas curvas:
Como varia de 0 a 1, consideramos apenas .
Portanto, varia de 0 até .

Passo 6

Agora, expressamos x = 1 pm raiz1 - 4y^22 em termos de :
Para a curva , resolvemos para :
Isso nos dá os limites inferiores e superiores de para um dado .

Passo 7

Com isso, os novos limites de integração serão:
  • y = raiz2 times 1 = raiz2 varia de 0 a 1 (já que vai até 1 e atinge máximo em ), mas precisamos confirmar isso:
    Quando :
    Portanto, varia de 0 a .
  • Para cada , varia de até a direita da curva .

Passo 8

Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^raiz2 [ integraly^22^1 + raiz1 - 4y^22 f(x, y) , dx ] dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^raiz2 [ integraly^22^1 + raiz1 - 4y^22 f(x, y) , dx ] dy

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