Inverta a ordem de integração.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para inverter a ordem de integração da integral dada. O conteúdo aqui é sobre integração múltipla, especificamente a troca da ordem de integração em integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender a região de integração e como ela se comporta no plano XY.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração originais:
Aqui, para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região de integração no plano XY. Precisamos identificar as curvas que definem os limites de
em termos de
:
Também sabemos que
varia de 0 a 1.
Passo 4
Vamos resolver
para
:
Isso nos dá os valores de
em termos de
.
Para
:
Passo 5
Determinar os novos limites de integração implica identificar até onde
varia. Observando as interseções das duas curvas:
Como
varia de 0 a 1, consideramos apenas
.
Portanto,
varia de 0 até
.
Passo 6
Agora, expressamos
em termos de
:
Para a curva
, resolvemos para
:
Isso nos dá os limites inferiores e superiores de
para um dado
.
Passo 7
Com isso, os novos limites de integração serão:
-
varia de 0 a 1 (já que vai até 1 e atinge máximo em ), mas precisamos confirmar isso: Quando: Portanto,varia de 0 a . -
Para cada
, varia de até a direita da curva .
Passo 8
Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A ordem de integração invertida é: