Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para inverter a ordem de integração da integral dada. O conteúdo aqui é sobre integração múltipla, especificamente a troca da ordem de integração em integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender a região de integração e como ela se comporta no plano XY.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração originais:
Aqui, para cada valor de entre 0 e 1, varia de até .
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região de integração no plano XY. Precisamos identificar as curvas que definem os limites de em termos de :
Também sabemos que varia de 0 a 1.
Passo 4
Vamos resolver para :
Isso nos dá os valores de em termos de .
Para :
Passo 5
Determinar os novos limites de integração implica identificar até onde varia. Observando as interseções das duas curvas:
Como varia de 0 a 1, consideramos apenas .
Portanto, varia de 0 até .
Passo 6
Agora, expressamos em termos de :
Para a curva , resolvemos para :
Isso nos dá os limites inferiores e superiores de para um dado .
Passo 7
Com isso, os novos limites de integração serão:
varia de 0 a 1 (já que vai até 1 e atinge máximo em ), mas precisamos confirmar isso:
Quando :
Portanto, varia de 0 a .
Para cada , varia de até a direita da curva .
Passo 8
Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida: