Inverta a ordem de integração.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para inverter a ordem de integração da integral dada. O conteúdo aqui é sobre integração múltipla, especificamente a troca da ordem de integração em integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender a região de integração e como ela se comporta no plano XY.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração originais:
Aqui, para cada valor de entre 0 e 1, varia de até .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região de integração no plano XY. Precisamos identificar as curvas que definem os limites de em termos de :
Também sabemos que varia de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver para :
Isso nos dá os valores de em termos de .
Para :

Passo 5

Determinar os novos limites de integração implica identificar até onde varia. Observando as interseções das duas curvas:
Como varia de 0 a 1, consideramos apenas .
Portanto, varia de 0 até .

Passo 6

Agora, expressamos em termos de :
Para a curva , resolvemos para :
Isso nos dá os limites inferiores e superiores de para um dado .

Passo 7

Com isso, os novos limites de integração serão:
  • varia de 0 a 1 (já que vai até 1 e atinge máximo em ), mas precisamos confirmar isso:
    Quando :
    Portanto, varia de 0 a .
  • Para cada , varia de até a direita da curva .

Passo 8

Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida:

Resposta

A ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(e) , para um contorno C sobre o círculo: .
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(b) , para um contorno C sobre o círculo: .
Inverta a ordem de integração.
(g)
Calcule as integrais abaixo:
(d) sobre o círculo: ;