Calcule as integrais abaixo:
(k) integrale^e^2 1x(ln x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve logaritmos naturais ( ) e funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que facilita integrais complicadas ao mudar a variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso nos ajuda a transformar a integral em termos de , que é mais fácil de manejar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de du = 1x dx em relação a . Derivando , temos:
Isso significa que . Vamos substituir isso na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo integrale^e^2 1x(ln x)^2 , dx = integralu=1^u=2 1u^2 , du e na integral, ela fica:
Note que os novos limites de integração são e .

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C em relação a . A integral de é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 1 a 2:
-1u |1^2 = -12 - (-11) = -12 + 1 = 12

Resposta

A integral é igual a .

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