Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas duas integrais duplas que você enviou! Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matemática que ajuda a calcular áreas e volumes mais complicados. Para isso, vamos precisar conhecer técnicas de integração e entender bem como mudar a ordem de integração quando necessário.

Passo 2

Vamos começar pela parte g):
Aqui, temos uma integral dupla onde a integral interna é em relação a e a externa em relação a . Vamos resolver passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver a integral interna:
Para isso, precisamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar , então , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, usamos a integração por partes duas vezes.

Passo 5

Após resolver a integral interna, substituímos de volta na integral externa em relação a e integramos de 0 a 2. Esse processo vai nos dar o valor final da integral dupla.

Passo 6

Calculando tudo, chegamos ao resultado final:
óá

Passo 7

Agora, vamos para a parte h):
Aqui, a integral interna é em relação a e a externa em relação a . Vamos resolver passo a passo.

Passo 8

Primeiro, resolvemos a integral interna:
Para integrar , usamos a substituição , então . No entanto, isso não simplifica muito, então optamos por integrar diretamente ou usar uma série de Taylor se necessário.

Passo 9

Após integrar em relação a , substituímos os limites de integração e obtemos uma expressão em termos de . Em seguida, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1.

Passo 10

Finalmente, após todos os cálculos, obtemos o valor final da segunda integral dupla.

Resposta

A integral dupla da parte h) resulta em .

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Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
a) Seja uma região de . Use a definição de integral dupla para explicar porque é a área de .
Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pela região no plano entre as curvas e o eixo .