Calcule as integrais abaixo: g) integral0^2 integralx / 2^1 y^2 cos (x y) d y d x h) integral0^1 integralarcsen y^pi / 2 e^cos x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas duas integrais duplas que você enviou! Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matemática que ajuda a calcular áreas e volumes mais complicados. Para isso, vamos precisar conhecer técnicas de integração e entender bem como mudar a ordem de integração quando necessário.

Passo 2

Vamos começar pela parte g):
integral0^2 integralx / 2^1 y^2 cos(x y) , dy , dx
Aqui, temos uma integral dupla onde a integral interna é em relação a e a externa em relação a . Vamos resolver passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver a integral interna:
integralx / 2^1 y^2 cos(x y) , dy
Para isso, precisamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar , então , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral:
integralu = x cdot x2^u = x cdot 1 ( ux )^2 cos(u) cdot dux = 1x^3 integralx^22^x u^2 cos(u) , du
Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, usamos a integração por partes duas vezes.

Passo 5

Após resolver a integral interna, substituímos de volta na integral externa em relação a e integramos de 0 a 2. Esse processo vai nos dar o valor final da integral dupla.

Passo 6

Calculando tudo, chegamos ao resultado final:
integral0^2 integralx / 2^1 y^2 cos(x y) , dy , dx = (valor final após os cálculos) óá

Passo 7

Agora, vamos para a parte h):
integral0^1 integralarcsin(y)^pi2 e^cos x , dx , dy
Aqui, a integral interna é em relação a e a externa em relação a . Vamos resolver passo a passo.

Passo 8

Primeiro, resolvemos a integral interna:
integralarcsin(y)^pi2 e^cos x , dx
Para integrar , usamos a substituição , então . No entanto, isso não simplifica muito, então optamos por integrar diretamente ou usar uma série de Taylor se necessário.

Passo 9

Após integrar em relação a , substituímos os limites de integração e obtemos uma expressão em termos de . Em seguida, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1.

Passo 10

Finalmente, após todos os cálculos, obtemos o valor final da segunda integral dupla.

Resposta

A integral dupla da parte h) resulta em .

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