Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas duas integrais duplas que você enviou! Estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matemática que ajuda a calcular áreas e volumes mais complicados. Para isso, vamos precisar conhecer técnicas de integração e entender bem como mudar a ordem de integração quando necessário.
Passo 2
Vamos começar pela parte g):
Aqui, temos uma integral dupla onde a integral interna é em relação a
e a externa em relação a
. Vamos resolver passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver a integral interna:
Para isso, precisamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos deixar
, então
, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar
em relação a
. Para isso, usamos a integração por partes duas vezes.
Passo 5
Após resolver a integral interna, substituímos de volta na integral externa em relação a
e integramos de 0 a 2. Esse processo vai nos dar o valor final da integral dupla.
Passo 6
Calculando tudo, chegamos ao resultado final:
Passo 7
Agora, vamos para a parte h):
Aqui, a integral interna é em relação a
e a externa em relação a
. Vamos resolver passo a passo.
Passo 8
Primeiro, resolvemos a integral interna:
Para integrar
, usamos a substituição
, então
. No entanto, isso não simplifica muito, então optamos por integrar diretamente ou usar uma série de Taylor se necessário.
Passo 9
Após integrar em relação a
, substituímos os limites de integração e obtemos uma expressão em termos de
. Em seguida, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 1.
Passo 10
Finalmente, após todos os cálculos, obtemos o valor final da segunda integral dupla.
Resposta
A integral dupla da parte h) resulta em
.
Exercícios relacionados
Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
a) Seja
uma região de
. Use a definição de integral dupla para explicar porque
é a área de
.
Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano
e abaixo pela região no plano
entre as curvas
e o eixo
.