Calcule as integrais abaixo.
(g) integral0^pi / 4 cos ^3 x d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma função trigonométrica elevada ao cubo. Para resolver essa integral, vamos usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^3 x = cos x cdot (1 - sin^2 x) para facilitar a integração. Sabemos que pode ser escrito como . Além disso, usamos a identidade trigonométrica . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = sin x Rightarrow du = cos x , dx
Substituindo na integral original:
integral0^pi / 4 cos^3 x , dx = integral0^pi / 4 cos x cdot (1 - sin^2 x) , dx = integralu=0^u=sin(pi/4) (1 - u^2) , du

Passo 4

Vamos calcular os novos limites de integração após a substituição:
u = sin x
Quando x = 0, u = sin 0 = 0
Quando x = pi4, u = sin(pi4) = raiz22
Então, a integral se torna:
integral0^raiz22 (1 - u^2) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
( u - u^33 ) |0^raiz22 = ( raiz22 - ( raiz22 )^33 ) - ( 0 - 0^33 )
Simplificando:
raiz22 - 2raiz283 = raiz22 - raiz212 = 6raiz2 - raiz212 = 5raiz212

Resposta

O valor da integral é .

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