Encontre a área das superfícies.
(e) A esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 compreendida entre os planos z = 1 e z = 2
Anton 8ed exer 15.4.45
Sol. 8 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte da esfera dada pela equação que está entre os planos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre a área de superfícies de esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o raio da esfera. Na equação , o número 16 é igual ao raio ao quadrado ( ). Então, para achar o raio , tiramos a raiz quadrada de 16:
Então, o raio da esfera é 4 unidades.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a área da parte da esfera que está entre os planos e . Para facilitar, vamos usar a fórmula da área de uma superfície esférica entre dois planos paralelos. A fórmula para a área de uma “faixa” da esfera entre duas alturas e é:
Aqui, é o raio da esfera, e e são as posições dos planos.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
Então, a área da superfície da esfera entre os planos e é unidades de área.

Resposta

A área das superfícies é .

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