Encontre a área das superfícies.
(g) A porção do plano y + 2 z = 2 dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1
Thomas 12ed exer 16.5.17
Sol. pi * raiz(5) / 2

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrar a área da parte do plano que está dentro do cilindro . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o plano de forma que esteja isolado. Assim:
Isso nos permite ver como uma função de , ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
áã
Essas derivadas são importantes porque vão entrar na fórmula para calcular a área da superfície.

Passo 4

A fórmula para a área de uma superfície dada por é:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 5

A região sobre a qual vamos integrar é a projeção do cilindro no plano , ou seja, um círculo de raio 1. A área desse círculo é conhecida:
Áí

Passo 6

Portanto, substituindo na integral:

Resposta

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