Quando tem
anos de uso, certa máquina industrial gera receita a uma taxa
reais por ano; a taxa de aumento dos custos de operação e manutenção da máquina é dada por
reais por ano. Lembrando que o lucro
é dado por
, resolva os itens abaixo.
(a) Determine o instante
em que o lucro começa a decrescer.
(a) Determine o instante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de lucro de uma máquina industrial ao longo do tempo. A gente vai usar cálculo, mais especificamente derivadas, para descobrir quando o lucro começa a diminuir. Precisamos entender as taxas de receita e custos da máquina para encontrar esse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o lucro
é dado por
, onde
é a receita e
são os custos. Mas como a gente tem as taxas de variação dessas funções em relação ao tempo (
), ou seja,
e
, vamos usar isso para achar a derivada do lucro.
Passo 3
A derivada do lucro em relação ao tempo é
. Vamos substituir as expressões dadas:
Passo 4
Queremos saber quando o lucro começa a diminuir. Isso acontece quando a derivada do lucro
é menor que zero:
Vamos resolver essa inequação para encontrar o valor de
.
Passo 5
Resolvendo a inequação:
Resposta
O lucro começa a decrescer quando
anos.