Quando tem t anos de uso, certa máquina industrial gera receita a uma taxa R'(t) 5000 - 20 t^2 reais por ano; a taxa de aumento dos custos de operação e manutenção da máquina é dada por C'(t) = 2000 + 10 t^2 reais por ano. Lembrando que o lucro L(t) é dado por L(t) = R(t) - C(t), resolva os itens abaixo.
(a) Determine o instante t0 > 0 em que o lucro começa a decrescer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de lucro de uma máquina industrial ao longo do tempo. A gente vai usar cálculo, mais especificamente derivadas, para descobrir quando o lucro começa a diminuir. Precisamos entender as taxas de receita e custos da máquina para encontrar esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o lucro é dado por , onde é a receita e são os custos. Mas como a gente tem as taxas de variação dessas funções em relação ao tempo ( ), ou seja, e , vamos usar isso para achar a derivada do lucro.

Passo 3

A derivada do lucro em relação ao tempo é . Vamos substituir as expressões dadas:

Passo 4

Queremos saber quando o lucro começa a diminuir. Isso acontece quando a derivada do lucro é menor que zero:
Vamos resolver essa inequação para encontrar o valor de .

Passo 5

Resolvendo a inequação:

Resposta

O lucro começa a decrescer quando anos.

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