Calcule as integrais abaixo: $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos uma função no numerador ( ) e uma função no denominador ( ). Nota-se que a derivada do denominador em relação a é , que é semelhante ao numerador (apenas difere por uma constante). Isso indica que a substituição será uma boa estratégia.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Com isso, precisamos encontrar em termos de :
Isso nos permite reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral original:
Agora, a integral ficou muito mais simples!

Passo 5

A integral de em relação a é o logaritmo natural de :
Mas como estamos calculando uma integral definida, não precisamos do .

Passo 6

Agora, substituímos de volta em termos de :
E avaliamos isso de a .

Passo 7

Vamos calcular as avaliações nos limites:

Passo 8

Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

O valor da integral é .

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