Calcule as integrais abaixo: $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+4
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos uma função no numerador () e uma função no denominador (). Nota-se que a derivada do denominador em relação a é , que é semelhante ao numerador (apenas difere por uma constante). Isso indica que a substituição será uma boa estratégia.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Com isso, precisamos encontrar em termos de :
Isso nos permite reescrever a integral em termos de .
Passo 4
Substituindo na integral original:
Agora, a integral ficou muito mais simples!
Passo 5
A integral de em relação a é o logaritmo natural de :
Mas como estamos calculando uma integral definida, não precisamos do .
Passo 6
Agora, substituímos de volta em termos de :
E avaliamos isso de a .
Passo 7
Vamos calcular as avaliações nos limites:
Passo 8
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos: