Usando substituição, calcule as integrais abaixo: integral raizx(1+x^3 / 2) dx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções polinomiais. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de integração básicas e entender como aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que integral x^1/2(1 + x^3/2) , dx é o mesmo que integral x^1/2 cdot 1 + x^1/2 cdot x^3/2 , dx , então podemos reescrever a integral assim:
Agora, vamos distribuir dentro dos parênteses:

Passo 3

Simplificando cada termo:
integral x^1/2 + x^(1/2 + 3/2) , dx = integral x^1/2 + x^2 , dx
Aqui, usamos a propriedade dos expoentes que diz .

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando a regra aos dois termos:
integral x^1/2 , dx = x^(1/2)+1(1/2)+1 = x^3/23/2 = 23x^3/2
e
integral x^2 , dx = x^2+12+1 = x^33

Passo 6

Agora, juntando os resultados das integrais:
23x^3/2 + x^33 + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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