Usando substituição, calcule as integrais abaixo: integral 1x^2+a^2 dx, onde a \neq 0$ é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa integral que é . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Observamos que a função está na forma ddx ( tan^-1(xa) ) = ax^2 + a^2 , que se assemelha à derivada da função arco-tangente. Sabemos que:
Mas na nossa integral, temos apenas , então precisamos ajustar isso.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = xa
Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 1a Rightarrow du = 1a dx Rightarrow dx = a , du em relação a :

Passo 4

Substituindo integral 1x^2 + a^2 , dx = integral 1(a u)^2 + a^2 cdot a , du e = integral aa^2 u^2 + a^2 , du = integral aa^2(u^2 + 1) , du = integral 1u^2 + 1 , du na integral original, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 1u^2 + 1 , du
Essa é uma integral padrão que sabemos que é igual a , onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa substituição inicial, lembramos que tan^-1(u) + C = tan^-1(xa) + C . Então, substituímos de volta:

Resposta

Portanto, a integral 1a tan^-1(xa) + C é igual a:

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