Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
, onde a \neq 0$ é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos essa integral que é
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Observamos que a função está na forma
, que se assemelha à derivada da função arco-tangente. Sabemos que:
Mas na nossa integral, temos apenas
, então precisamos ajustar isso.
Passo 3
Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
Essa é uma integral padrão que sabemos que é igual a
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à nossa substituição inicial, lembramos que
. Então, substituímos de volta:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
.
Calcule as integrais abaixo: $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+4
Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo:
.