Usando substituição, calcule as integrais abaixo: , onde a \neq 0$ é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa integral que é . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Observamos que a função está na forma , que se assemelha à derivada da função arco-tangente. Sabemos que:
Mas na nossa integral, temos apenas , então precisamos ajustar isso.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
Essa é uma integral padrão que sabemos que é igual a , onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa substituição inicial, lembramos que . Então, substituímos de volta:

Resposta

Portanto, a integral é igual a:

Exercícios relacionados

Usando substituição, calcule as integrais abaixo: .
Calcule as integrais abaixo: $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+4
Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo: .