Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida:
. O conteúdo que vamos usar pra resolver isso é integração por partes. Basicamente, integração por partes é uma técnica que ajuda a integrar o produto de duas funções. Para isso, a gente vai precisar identificar partes da integral que serão
e
na fórmula da integração por partes. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Para aplicar essa fórmula, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
. Olhando para
, uma boa escolha é:
-
(fica fácil de derivar) -
(sabemos como integrar isso)
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivada de
: -
Integral de
: (Lembra que a integral deé ?)
Passo 4
Substituindo na fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. A integral de
é:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Como a nossa integral original é definida, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Agora, vamos calcular isso para cada limite.
Passo 7
Primeiro, para
:
-
(porque é o cosseno sobre o seno, e ) -
Então:
Passo 8
Agora, para
:
-
(porque ) -
Então:
Passo 9
Subtraindo os valores dos limites:
Vamos simplificar
:
Então:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
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Calcule as integrais abaixo:
.
Calcule as integrais trigonométricas abaixo:
.
Calcule as integrais abaixo: $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+4