Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo: integralpi / 4^pi / 2 x cossec^2 x dx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida: . O conteúdo que vamos usar pra resolver isso é integração por partes. Basicamente, integração por partes é uma técnica que ajuda a integrar o produto de duas funções. Para isso, a gente vai precisar identificar partes da integral que serão e na fórmula da integração por partes. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Para aplicar essa fórmula, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Olhando para , uma boa escolha é:
  • (fica fácil de derivar)
  • (sabemos como integrar isso)

Passo 3

Agora, vamos calcular du = dx e v = integral csc^2 x , dx = -cot x :
  • Derivada de :
  • Integral de :
    (Lembra que a integral de é ?)

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral x csc^2 x , dx = uv - integral v , du
Substituindo = x cdot (-cot x) - integral (-cot x) cdot dx , = -x cot x + integral cot x , dx , :

Passo 5

Agora, precisamos calcular integral cot x , dx = ln|sin x| + C . A integral de = -x cot x + ln|sin x| + C é:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Como a nossa integral original é definida, vamos aplicar os limites de integração de [ -x cot x + ln|sin x| ]pi/4^pi/2 a :
Agora, vamos calcular isso para cada limite.

Passo 7

Primeiro, para - ( pi2 cdot 0 ) + ln(1) = 0 + 0 = 0 :
  • (porque é o cosseno sobre o seno, e )
Então:

Passo 8

Agora, para - ( pi4 cdot 1 ) + ln(raiz22) = -pi4 + ln(raiz22) :
  • (porque )
Então:

Passo 9

Subtraindo os valores dos limites:
0 - ( -pi4 + ln(raiz22) ) = pi4 - ln(raiz22)
Vamos simplificar raiz22 = 1raiz2 = 2^-1/2 :
ln(2^-1/2) = -12 ln 2
Então:

Passo 10

Substituindo de volta:
pi4 - ( -12 ln 2 ) = pi4 + 12 ln 2

Resposta

A integral pi4 + 12 ln 2 é igual a:

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