Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida: . O conteúdo que vamos usar pra resolver isso é integração por partes. Basicamente, integração por partes é uma técnica que ajuda a integrar o produto de duas funções. Para isso, a gente vai precisar identificar partes da integral que serão e na fórmula da integração por partes. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Para aplicar essa fórmula, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Olhando para , uma boa escolha é:
  • (fica fácil de derivar)
  • (sabemos como integrar isso)

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivada de :
  • Integral de :
    (Lembra que a integral de é ?)

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :

Passo 5

Agora, precisamos calcular . A integral de é:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Como a nossa integral original é definida, vamos aplicar os limites de integração de a :
Agora, vamos calcular isso para cada limite.

Passo 7

Primeiro, para :
  • (porque é o cosseno sobre o seno, e )
Então:

Passo 8

Agora, para :
  • (porque )
Então:

Passo 9

Subtraindo os valores dos limites:
Vamos simplificar :
Então:

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo: .
Calcule as integrais trigonométricas abaixo: .
Calcule as integrais abaixo: $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+4