Calcule as integrais abaixo:
$\int \frac{2 x+3}{(x+1)^{3}} d

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integração de frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando o denominador , podemos definir . Isso porque a derivada de em relação a é simples e aparece na parte numeradora da fração.

Passo 3

Agora, derivamos em relação a :
Isso significa que , o que já nos ajuda a substituir na integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de :
Mas sabemos que (já que ), então substituímos:

Passo 5

Vamos separar a fração:
Agora, integramos termo a termo.

Passo 6

Integrando:
Então, juntando as duas partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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