Calcule as integrais abaixo:
$\int \frac{2 x+3}{(x+1)^{3}} d
$\int \frac{2 x+3}{(x+1)^{3}} d
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integração de frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando o denominador
, podemos definir
. Isso porque a derivada de
em relação a
é simples e aparece na parte numeradora da fração.
Passo 3
Agora, derivamos
em relação a
:
Isso significa que
, o que já nos ajuda a substituir na integral.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em termos de
:
Mas sabemos que
(já que
), então substituímos:
Passo 5
Vamos separar a fração:
Agora, integramos termo a termo.
Passo 6
Integrando:
Então, juntando as duas partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos para a variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.