Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
integral ln (2 x+1) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral ln (2x + 1) , dx usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções e queremos integrar. Vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e identificar quais partes da nossa integral vão ser u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Na integração por partes, escolhemos u como uma função que fica mais simples quando derivada, e dv como a parte que podemos integrar facilmente.
Então, vamos definir:
  • u = ln(2x + 1)
  • dv = dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v:
  • Para encontrar du, derivamos u em relação a x: du = ddx ln(2x + 1) , dx = 22x + 1 , dx
  • Para encontrar v, integramos dv: v = integral dx = x

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo, temos:
integral ln(2x + 1) , dx = x cdot ln(2x + 1) - integral x cdot 22x + 1 , dx

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral que restou:
integral x cdot 22x + 1 , dx
Isso pode ser reescrito como:
2 integral x2x + 1 , dx
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples.

Passo 6

Vamos fazer a substituição:
t = 2x + 1 Rightarrow dt = 2 , dx Rightarrow dx = dt2
Além disso, expressamos x em termos de t:
x = t - 12

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
2 integral t - 12t cdot dt2 = 2 cdot 14 integral t - 1t , dt = 12 integral (1 - 1t) , dt
Isso simplifica para:
12 integral 1 , dt - 12 integral 1t , dt = 12 t - 12 ln |t| + C

Passo 8

Voltando para a variável original x, lembrando que t = 2x + 1, temos:
12 (2x + 1) - 12 ln |2x + 1| + C = x + 12 - 12 ln(2x + 1) + C
Podemos simplificar a constante 12 + C para apenas C, já que é uma constante arbitrária.

Passo 9

Agora, substituímos de volta na expressão original da integração por partes:
integral ln(2x + 1) , dx = x ln(2x + 1) - (x - 12 ln(2x + 1)) + C
Simplificando isso, temos:
integral ln(2x + 1) , dx = (x + 12) ln(2x + 1) - x + C

Resposta

A integral de ln(2x + 1) em relação a x é:
integral ln(2x + 1) , dx = (x + 12) ln(2x + 1) - x + C
onde C é a constante de integração.

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