Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções e queremos integrar. Vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e identificar quais partes da nossa integral vão ser
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Na integração por partes, escolhemos
como uma função que fica mais simples quando derivada, e
como a parte que podemos integrar facilmente.
Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
:
- Para encontrar
, derivamos em relação a : - Para encontrar
, integramos :
Passo 4
Com esses valores, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo, temos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral que restou:
Isso pode ser reescrito como:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples.
Passo 6
Vamos fazer a substituição:
Além disso, expressamos
em termos de
:
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Isso simplifica para:
Passo 8
Voltando para a variável original
, lembrando que
, temos:
Podemos simplificar a constante
para apenas
, já que é uma constante arbitrária.
Passo 9
Agora, substituímos de volta na expressão original da integração por partes:
Simplificando isso, temos:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.