Usando integração por partes, Calcule as integrais abaixo:
integralpi / 4^pi / 2 x cossec^2 x d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender o que é integração por partes e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como uma função que se simplifica ao derivar, e como a parte que conseguimos integrar facilmente.

Passo 3

Vamos definir:
u = x e dv = csc^2 x , dx
Agora, precisamos calcular du = dx (derivada de x em relação a x) e v = integral csc^2 x , dx = -cot x :
çã
Para encontrar , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x csc^2 x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x (-cot x) - integral (-cot x) , dx
Simplificando:
= -x cot x + integral cot x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral cot x , dx = ln|sin x| + C . Sabemos que:
integral x csc^2 x , dx = -x cot x + ln|sin x| + C
Onde é a constante de integração. Portanto:

Passo 6

Como estamos lidando com uma integral definida de [ -x cot x + ln|sin x| ]pi/4^pi/2 a -x cot x = -pi2 cot(pi2) = -pi2 cdot 0 = 0 , aplicamos os limites de integração:
ln|sin(pi/2)| = ln(1) = 0
Calculando em -x cot x = -pi4 cot(pi4) = -pi4 cdot 1 = -pi4 :
ln|sin(pi/4)| = ln(raiz22) = ln(raiz22)
Calculando em :

Passo 7

Subtraindo os valores:
(0 + 0) - (-pi4 + ln(raiz22)) = pi4 - ln(raiz22)
Simplificando o logaritmo:
ln(raiz22) = ln(2^-1/2) = -12 ln 2
Portanto:
pi4 - (-12 ln 2) = pi4 + 12 ln 2

Resposta

A integral é igual a .

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