Calcule as integrais abaixo.
$(a) a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
Matéria envolvida: Integrais múltiplas, especificamente integrais triplas.
O que vamos precisar: Conhecer como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em várias variáveis, uma de cada vez, respeitando os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. Temos que integrar em relação a , depois , e por último . Isso significa que começaremos integrando em relação a , mantendo e constantes.

Passo 3

Vamos integrar em relação a de 0 até :
A antiderivada de em relação a é , e a antiderivada de é . Então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão obtida:
Então, após integrar em relação a , a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a , de 0 até :
Podemos separar a integral:
Calculando cada uma:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a , de 0 até 2:

Passo 7

Vamos calcular as antiderivadas:
Então:

Passo 8

Substituindo :
Para subtrair, vamos achar um denominador comum, que é 15:
Substituindo :
Portanto, a diferença é:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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