Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule para
a)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . O conteúdo aqui envolve continuidade por partes e cálculo de integrais definidas. Vamos precisar verificar se a função é contínua nos pontos onde ela muda de expressão e, se for contínua, calcular a integral de de a .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade da função nos pontos onde ela muda de expressão, que são e . A função é contínua por partes se não tem “saltos” nesses pontos.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em :
  • Para um pouco menor que 0, . Calculando o limite à esquerda: .
  • Para um pouco maior que 0, . Calculando o limite à direita: .
  • O valor de também é .
    Como os limites à esquerda e à direita são iguais ao valor da função, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em :
  • Para um pouco menor que , . Calculando o limite à esquerda: .
  • Para um pouco maior ou igual a , . Calculando o limite à direita: .
  • O valor de .
    Como os limites à esquerda e à direita são iguais ao valor da função, é contínua em .

Passo 5

Agora que verificamos que é contínua por partes nos pontos críticos, podemos prosseguir com o cálculo da integral definida de a . Vamos dividir a integral em três partes, de acordo com as diferentes expressões da função:

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente:
  1. :
Avaliado de a :
  1. :
Avaliado de a :
  1. :
Avaliado de a :

Passo 7

Agora, somamos os resultados das três integrais:

Resposta

A função é contínua por partes e a integral de de a vale .

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Calcule as integrais abaixo.
a) .(A mais trivial de todas!).
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)
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a)
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)