Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule integral-1^1 f(x) d x para
a) f(x)= x & se 0= 1 / 2 -x & se x <= 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . O conteúdo aqui envolve continuidade por partes e cálculo de integrais definidas. Vamos precisar verificar se a função é contínua nos pontos onde ela muda de expressão e, se for contínua, calcular a integral de de a .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade da função nos pontos onde ela muda de expressão, que são e . A função é contínua por partes se não tem “saltos” nesses pontos.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em :
  • Para um pouco menor que 0, . Calculando o limite à esquerda: .
  • Para um pouco maior que 0, . Calculando o limite à direita: .
  • O valor de também é .
    Como os limites à esquerda e à direita são iguais ao valor da função, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em :
  • Para um pouco menor que , . Calculando o limite à esquerda: .
  • Para um pouco maior ou igual a , . Calculando o limite à direita: .
  • O valor de .
    Como os limites à esquerda e à direita são iguais ao valor da função, é contínua em .

Passo 5

Agora que verificamos que integral-1^1 f(x) dx = integral-1^0 (-x) dx + integral0^12 x dx + integral12^1 12 dx é contínua por partes nos pontos críticos, podemos prosseguir com o cálculo da integral definida de a . Vamos dividir a integral em três partes, de acordo com as diferentes expressões da função:

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente:
  1. integral (-x) dx = -x^22 :
-0^22 - ( -(-1)^22 ) = 0 - ( -12 ) = 12
Avaliado de integral x dx = x^22 a (12)^22 - 0^22 = 142 - 0 = 18 :
integral 12 dx = 12x
  1. 12(1) - 12(12) = 12 - 14 = 14 :
Avaliado de a :
  1. :
Avaliado de a :

Passo 7

Agora, somamos os resultados das três integrais:
12 + 18 + 14 = 48 + 18 + 28 = 78

Resposta

A função é contínua por partes e a integral de de a vale .

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