Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule para
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . O conteúdo aqui envolve continuidade por partes e cálculo de integrais definidas. Vamos precisar verificar se a função é contínua nos pontos onde ela muda de expressão e, se for contínua, calcular a integral de de a .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade da função nos pontos onde ela muda de expressão, que são e . A função é contínua por partes se não tem “saltos” nesses pontos.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em :
Para um pouco menor que 0, . Calculando o limite à esquerda: .
Para um pouco maior que 0, . Calculando o limite à direita: .
O valor de também é .
Como os limites à esquerda e à direita são iguais ao valor da função, é contínua em .
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em :
Para um pouco menor que , . Calculando o limite à esquerda: .
Para um pouco maior ou igual a , . Calculando o limite à direita: .
O valor de .
Como os limites à esquerda e à direita são iguais ao valor da função, é contínua em .
Passo 5
Agora que verificamos que integral-1^1 f(x) dx = integral-1^0 (-x) dx + integral0^12 x dx + integral12^1 12 dx é contínua por partes nos pontos críticos, podemos prosseguir com o cálculo da integral definida de a . Vamos dividir a integral em três partes, de acordo com as diferentes expressões da função:
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente:
integral (-x) dx = -x^22 :
-0^22 - ( -(-1)^22 ) = 0 - ( -12 ) = 12
Avaliado de integral x dx = x^22 a (12)^22 - 0^22 = 142 - 0 = 18 :
integral 12 dx = 12x
12(1) - 12(12) = 12 - 14 = 14 :
Avaliado de a :
:
Avaliado de a :
Passo 7
Agora, somamos os resultados das três integrais:
12 + 18 + 14 = 48 + 18 + 28 = 78
Resposta
A função é contínua por partes e a integral de de a vale .