Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a série de Fourier! O enunciado pede para calcular a série de Fourier da função
, considerando que ela é
-periódica. A matéria que vamos usar aqui é a análise de séries de Fourier, que nos permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos identificar os termos que já estão na forma de série de Fourier e entender como eles se juntam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier geral para uma função
-periódica é dada por:
onde
é o termo constante,
são os coeficientes dos cossenos e
são os coeficientes dos senos.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que temos:
Vemos que já está escrita como uma soma de um seno e um cosseno, com frequências
e
, respectivamente. Isso significa que os coeficientes
e
são diretamente identificáveis.
Passo 4
Vamos identificar os coeficientes:
- O termo
corresponde a (já que é ). - O termo
corresponde a (já que é ). - Todos os outros coeficientes
e para são zero. - O termo constante
também é zero, pois não temos um termo sem seno ou cosseno na função original.
Passo 5
Com isso, podemos escrever a série de Fourier da função. Como só temos os termos para
e
, a série fica bem simples:
Isso mesmo, a própria função já está na forma de sua série de Fourier!
Resposta
A série de Fourier da função
é: