Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a série de Fourier! O enunciado pede para calcular a série de Fourier da função , considerando que ela é -periódica. A matéria que vamos usar aqui é a análise de séries de Fourier, que nos permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos identificar os termos que já estão na forma de série de Fourier e entender como eles se juntam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier geral para uma função -periódica é dada por:
onde é o termo constante, são os coeficientes dos cossenos e são os coeficientes dos senos.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que temos:
Vemos que já está escrita como uma soma de um seno e um cosseno, com frequências e , respectivamente. Isso significa que os coeficientes e são diretamente identificáveis.

Passo 4

Vamos identificar os coeficientes:
  • O termo corresponde a (já que é ).
  • O termo corresponde a (já que é ).
  • Todos os outros coeficientes e para são zero.
  • O termo constante também é zero, pois não temos um termo sem seno ou cosseno na função original.

Passo 5

Com isso, podemos escrever a série de Fourier da função. Como só temos os termos para e , a série fica bem simples:
Isso mesmo, a própria função já está na forma de sua série de Fourier!

Resposta

A série de Fourier da função é:

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a)
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a) .(A mais trivial de todas!).
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a)
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a)