Calcule as integrais abaixo.
integral(1x+12 x-3+e^x+e^-3 x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que temos aqui é uma integral de uma soma de várias funções: 1x, 12x-3, e^x e e^-3x. Vamos precisar usar as regras básicas de integração para cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar 1x. Você lembra que a integral de 1x é um tipo especial? Isso mesmo, é o logaritmo natural! Então:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Aqui, C é a constante de integração que sempre colocamos no final.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: 12x-3. Para integrar isso, usamos uma técnica chamada substituição. Vamos deixar isso mais fácil:
Seja u = 2x - 3, então a derivada de u em relação a x é du/dx = 2, ou seja, dx = du2. Substituindo na integral:
integral 12x - 3 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 ln|u| + C = 12 ln|2x - 3| + C

Passo 4

A terceira parte é integral e^x , dx. A integral de e^x é bem direta:
integral e^x , dx = e^x + C
Muito simples, né?

Passo 5

Por último, temos integral e^-3x , dx. Novamente, usamos substituição. Vamos lá:
Seja u = -3x, então du/dx = -3, ou seja, dx = du-3. Substituindo na integral:
integral e^-3x , dx = integral e^u cdot du-3 = -13 e^u + C = -13 e^-3x + C

Resposta

Juntando todas as partes que integramos, a solução completa da integral é:
ln|x| + 12 ln|2x - 3| + e^x - 13 e^-3x + C
Onde C é a constante de integração.

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