Calcule as integrais abaixo.
integral1^3 (x^3-x^2)^2raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é uma integral definida que envolve uma função polinomial dividida por uma raiz quadrada de . A matéria que vamos usar é Cálculo Integral, especificamente integração de funções polinomiais e frações envolvendo raízes. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão no numerador e simplificar a divisão pela raiz de .

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão (x^3 - x^2)^2 = x^3 cdot x^3 - 2 cdot x^3 cdot x^2 + x^2 cdot x^2 = x^6 - 2x^5 + x^4 . Isso significa multiplicar por ele mesmo:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na integral original:
integral1^3 x^6 - 2x^5 + x^4raizx , dx

Passo 4

A próxima etapa é simplificar a divisão de cada termo pelo x^6raizx = x^6 - 12 = x^112 , que é o mesmo que -2x^5raizx = -2x^5 - 12 = -2x^92 :
x^4raizx = x^4 - 12 = x^72
integral1^3 ( x^112 - 2x^92 + x^72 ) dx
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo individualmente. A regra básica para integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C é:
integral x^112 , dx = x^132132 = 213x^132
Aplicando isso a cada termo:
integral -2x^92 , dx = -2 cdot x^112112 = -411x^112
integral x^72 , dx = x^9292 = 29x^92

Passo 6

Agora, juntando tudo, a integral fica:
[ 213x^132 - 411x^112 + 29x^92 ]1^3

Passo 7

Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de 1 a 3:
Para 213(3)^132 - 411(3)^112 + 29(3)^92 :
213(1)^132 - 411(1)^112 + 29(1)^92 = 213 - 411 + 29
Para :

Passo 8

Calculando os valores:
Primeiro, para 3^132 = 3^6 cdot raiz3 = 729 cdot 1.732 approx 1260.408 :
3^112 = 3^5 cdot raiz3 = 243 cdot 1.732 approx 420.276
3^92 = 3^4 cdot raiz3 = 81 cdot 1.732 approx 140.292
213 cdot 1260.408 approx 193.91
Substituindo:
-411 cdot 420.276 approx -152.83
29 cdot 140.292 approx 31.175
193.91 - 152.83 + 31.175 approx 72.255
Somando esses valores:
213 - 411 + 29 approx 0.1538 - 0.3636 + 0.2222 approx 0.0124
Agora, para :

Passo 9

Finalmente, subtraímos o valor em 72.255 - 0.0124 approx 72.2426 do valor em :

Resposta

Portanto, o valor da integral é aproximadamente 72.24.

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