Usando o critério da comparação, determine se é convergente ou divergente:
sumk=0^infty 2 k-1k^2-3 k+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar o critério da comparação. Isso significa que vamos comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o termo geral 2k - 1k^2 - 3k + 4 approx 2kk^2 = 2k se comporta quando fica bem grande. Quando aumenta, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam. Então, podemos simplificar:
Isso mostra que, para valores grandes de , nosso termo é aproximadamente igual a .

Passo 3

Agora, vamos comparar com a série , que é a famosa série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não soma para um valor finito.

Passo 4

Como nosso termo é maior ou igual a um múltiplo da série harmônica e a série harmônica diverge, pelo critério da comparação, nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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