Usando o critério da comparação, determine se é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o critério da comparação. Isso significa que vamos comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o termo geral
se comporta quando
fica bem grande. Quando
aumenta, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam. Então, podemos simplificar:
Isso mostra que, para valores grandes de
, nosso termo é aproximadamente igual a
.
Passo 3
Agora, vamos comparar com a série
, que é a famosa série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não soma para um valor finito.
Passo 4
Como nosso termo
é maior ou igual a um múltiplo da série harmônica e a série harmônica diverge, pelo critério da comparação, nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.