Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do tópico de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Essa fórmula é útil quando temos um produto de funções que é difícil de integrar diretamente. Nosso objetivo é escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples.

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, precisamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda integral:
Fazendo uma substituição simples, seja , então , o que implica que . Substituindo:

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Considere o sistema
a) Prove que se for uma solução, então será, também, solução da equação
Conclua que a trajetória desta solução está contida na reta .
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Seja um real dado, desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais e
d) Seja um real dado. Desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais e
O par de funções e , é uma solução do sistema para todo .
Considere o sistema . Sejam as raízes do polinômio característico
Seja uma solução qualquer do sistema. Prove:
a) Se e , então
Dê exemplos.
b) Se e , com e , então
Dê exemplos.
c) Se e , então a trajetória da solução que passa pelo ponto é uma elipse.
d) Suponha ou . Prove que existe uma solução tal que
Dê exemplos.
Calcule as integrais abaixo: