Calcule as integrais abaixo: integral arctan (4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral arctan(4x) , dx. Esse exercício está dentro do tópico de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Essa fórmula é útil quando temos um produto de funções que é difícil de integrar diretamente. Nosso objetivo é escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples.

Passo 3

Vamos escolher:
u = arctan(4x) e dv = dx
Agora, precisamos calcular du = ddx arctan(4x) , dx = 41 + (4x)^2 , dx = 41 + 16x^2 , dx e v = integral dv = integral dx = x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral arctan(4x) , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot arctan(4x) - integral x cdot 41 + 16x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda integral:
integral x cdot 41 + 16x^2 , dx = 4 integral x1 + 16x^2 , dx
Fazendo uma substituição simples, seja 4 integral x1 + 16x^2 , dx = 4 cdot 132 integral 1w , dw = 18 ln|w| + C = 18 ln(1 + 16x^2) + C , então , o que implica que . Substituindo:

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral arctan(4x) , dx = x cdot arctan(4x) - 18 ln(1 + 16x^2) + C
onde é a constante de integração.

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