Considere o sistema
a) Prove que se for uma solução, então será, também, solução da equação
Conclua que a trajetória desta solução está contida na reta .
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Seja um real dado, desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais e
d) Seja um real dado. Desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais e
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema de equações diferenciais:
A matéria aqui envolve sistemas de equações lineares e soluções de sistemas diferenciais. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e manipulação de equações para resolver cada parte do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que qualquer solução e desse sistema também satisfaz a equação .
Sabemos que:
Agora, multiplamos a primeira equação por 2:
Subtraímos a segunda equação dessa:
Portanto, temos .
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a trajetória está na reta , onde é uma constante real.
A equação pode ser rearranjada para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então, a trajetória das soluções está na reta .
Passo 4
Agora, vamos determinar a solução geral do sistema.
Temos o sistema:
Podemos escrever isso em forma matricial:
Vamos encontrar os autovalores () resolvendo o determinante:
Então, os autovalores são e .
Para , resolvemos:
Então, um autovetor é .
Para , resolvemos:
Então, um autovetor é .
Assim, a solução geral é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Vamos desenhar a trajetória da solução que satisfaz e .
Usando a solução geral:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, a solução é:
Essa trajetória está na reta . Substituindo as soluções:
Então, a trajetória é a reta .
Passo 6
Agora, vamos desenhar a trajetória da solução que satisfaz e , onde .
Usando a solução geral:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda: