Considere o sistema
a) Prove que se
for uma solução, então será, também, solução da equação
Conclua que a trajetória desta solução está contida na reta
.
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Seja
um real dado, desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais
e
d) Seja
um real dado. Desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais
e
a) Prove que se
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Seja
d) Seja
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema de equações diferenciais:
A matéria aqui envolve sistemas de equações lineares e soluções de sistemas diferenciais. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e manipulação de equações para resolver cada parte do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que qualquer solução
e
desse sistema também satisfaz a equação
.
Sabemos que:
Agora, multiplamos a primeira equação por 2:
Subtraímos a segunda equação dessa:
Portanto, temos
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a trajetória está na reta
, onde
é uma constante real.
A equação
pode ser rearranjada para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então, a trajetória das soluções está na reta
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a solução geral do sistema.
Temos o sistema:
Podemos escrever isso em forma matricial:
Vamos encontrar os autovalores (
) resolvendo o determinante:
Então, os autovalores são
e
.
Para
, resolvemos:
Então, um autovetor é
.
Para
, resolvemos:
Então, um autovetor é
.
Assim, a solução geral é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Vamos desenhar a trajetória da solução que satisfaz
e
.
Usando a solução geral:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Da primeira equação,
Então, a solução é:
Essa trajetória está na reta
. Substituindo as soluções:
Então, a trajetória é a reta
.
Passo 6
Agora, vamos desenhar a trajetória da solução que satisfaz
e
, onde
.
Usando a solução geral:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Da primeira equação,
Então, a solução é:
Isso significa que a trajetória é o ponto fixo
.
Resposta
A trajetória da solução com as condições iniciais dadas está na reta
para a parte © e é o ponto fixo
para a parte (d).