O par de funções x = cos(t) e y = sen(t), t pertence a R, é uma solução do sistema { dot(x) = -y ; dot(y) = x } para todo t in R.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos dizendo. Temos duas funções: e , onde é um número real. O enunciado afirma que essas funções são soluções do sistema de equações diferenciais:
Para verificar isso, precisamos calcular as derivadas de e em relação a e ver se elas satisfazem as equações do sistema. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de em relação a . Sabemos que:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de em relação a . Sabemos que:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos agora substituir e nas equações do sistema para verificar se as derivadas que encontramos correspondem às equações dadas.
Primeira equação do sistema:
Substituindo :
A igualdade é verdadeira.
Segunda equação do sistema:
Substituindo :
A igualdade também é verdadeira.

Resposta

As funções e satisfazem o sistema de equações diferenciais dado, confirmando que são soluções para todo .

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