O par de funções
e
, é uma solução do sistema
para todo
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos dizendo. Temos duas funções:
e
, onde
é um número real. O enunciado afirma que essas funções são soluções do sistema de equações diferenciais:
Para verificar isso, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e ver se elas satisfazem as equações do sistema. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos agora substituir
e
nas equações do sistema para verificar se as derivadas que encontramos correspondem às equações dadas.
Primeira equação do sistema:
Substituindo
:
A igualdade é verdadeira.
Segunda equação do sistema:
Substituindo
:
A igualdade também é verdadeira.
Resposta
As funções
e
satisfazem o sistema de equações diferenciais dado, confirmando que são soluções para todo
.
Exercícios relacionados
Determine a transformada de Laplace das funções abaixo:
a)
b) , se
e
, se
.
c)
d) ;
e)
f)
g)
h) ;
i)
j) ;
k) ;
l)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Suponha que,
horas após a injeção de
de adrenalina, a resposta seja
unidades, e
onde
é uma constante positiva. Que valores de
e
causarão a resposta máxima?
Considere o sistema
a) Prove que se for uma solução, então será, também, solução da equação
a) Prove que se
Conclua que a trajetória desta solução está contida na reta
.
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Seja um real dado, desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais
e
d) Seja um real dado. Desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais
e
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Seja
d) Seja
Calcule as integrais abaixo: