O par de funções
e
, é uma solução do sistema
para todo
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos dizendo. Temos duas funções:
e
, onde
é um número real. O enunciado afirma que essas funções são soluções do sistema de equações diferenciais:
Para verificar isso, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e ver se elas satisfazem as equações do sistema. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos agora substituir
e
nas equações do sistema para verificar se as derivadas que encontramos correspondem às equações dadas.
Primeira equação do sistema:
Substituindo
:
A igualdade é verdadeira.
Segunda equação do sistema:
Substituindo
:
A igualdade também é verdadeira.
Resposta
As funções
e
satisfazem o sistema de equações diferenciais dado, confirmando que são soluções para todo
.