O par de funções e , é uma solução do sistema para todo .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos dizendo. Temos duas funções: e , onde é um número real. O enunciado afirma que essas funções são soluções do sistema de equações diferenciais:
Para verificar isso, precisamos calcular as derivadas de e em relação a e ver se elas satisfazem as equações do sistema. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de em relação a . Sabemos que:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de em relação a . Sabemos que:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos agora substituir e nas equações do sistema para verificar se as derivadas que encontramos correspondem às equações dadas.
Primeira equação do sistema:
Substituindo :
A igualdade é verdadeira.
Segunda equação do sistema:
Substituindo :
A igualdade também é verdadeira.

Resposta

As funções e satisfazem o sistema de equações diferenciais dado, confirmando que são soluções para todo .

Exercícios relacionados

Determine a transformada de Laplace das funções abaixo:
a)
b) , se e , se .
c)
d) ;
e)
f)
g)
h) ;
i)
j) ;
k) ;
l)
Suponha que, horas após a injeção de de adrenalina, a resposta seja unidades, e onde é uma constante positiva. Que valores de e causarão a resposta máxima?
Considere o sistema
a) Prove que se for uma solução, então será, também, solução da equação
Conclua que a trajetória desta solução está contida na reta .
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Seja um real dado, desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais e
d) Seja um real dado. Desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais e
Calcule as integrais abaixo: