Considere o sistema . Sejam as raízes do polinômio característico
Seja lx=x(t) y=y(t), t in R uma solução qualquer do sistema. Prove:
a) Se lambda1<0 e lambda2<0, então
lim t +infty(x(t), y(t))=(0,0)
Dê exemplos.
b) Se lambda1=alpha+i beta e lambda2=alpha-i beta, com alpha<0 e beta neq 0, então
lim t +infty(x(t), y(t))=(0,0)
Dê exemplos.
c) Se lambda1=i beta e lambda2=-i beta, beta neq 0, então a trajetória da solução que passa pelo ponto (x0, y0) neq(0,0) é uma elipse.
d) Suponha lambda1>0 ou lambda2>0. Prove que existe uma solução lx=x(t) y=y(t) tal que
lim t +infty|(x(t), y(t))|=+infty
Dê exemplos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares:
l dotx = a11x + a12y doty = a21x + a22y
Queremos analisar o comportamento das soluções desse sistema com base nas raízes do polinômio característico:
As raízes lambda1 e lambda2 vão nos dizer como as soluções (x(t), y(t)) se comportam para t +infty. Para resolver cada parte do exercício, vamos aplicar conceitos de sistemas dinâmicos e teoria de equações diferenciais lineares, sempre passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter duas raízes negativas no polinômio característico. Quando ambas as raízes lambda1 e lambda2 são negativas, isso implica que o sistema é assintoticamente estável. Em termos simples, isso quer dizer que, com o tempo, as soluções (x(t), y(t)) vão tendendo para o ponto de equilíbrio, que é (0,0).
Passo 3
Para provar isso, vamos considerar a solução geral do sistema. Como as raízes são reais e negativas, a solução será uma combinação linear de exponenciais decrescentes:
x(t) = C1 e^lambda1 t + C2 e^lambda2 t
y(t) = C3 e^lambda1 t + C4 e^lambda2 t
Como lambda1 < 0 e lambda2 < 0, quando t +infty, e^lambda1 t 0 e e^lambda2 t 0. Portanto, tanto x(t) quanto y(t) vão para zero.
Passo 4
Agora, vamos dar um exemplo concreto. Considere o sistema:
As raízes são lambda1 = -3 + raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 11/2 = -3 + raiz36 - 44/2. Nesse caso, temos raízes complexas com parte real negativa, mas para simplificar, escolhemos raízes reais negativas.
Passo 5
Outro exemplo com raízes reais e negativas:
Considere o sistema:
l dotx = -1x + 0y doty = 0x -2y
O polinômio característico é:
p(lambda) = (lambda + 1)(lambda + 2) = 0
As raízes são lambda1 = -1 e lambda2 = -2, ambas negativas. Assim, as soluções vão tendem para (0,0) quando t +infty.
Resposta
Portanto, se ambas as raízes do polinômio característico forem negativas, todas as soluções do sistema vão convergir para o ponto de equilíbrio (0,0) à medida que t tende ao infinito.