Considere o sistema . Sejam as raízes do polinômio característico
Seja uma solução qualquer do sistema. Prove:
a) Se e , então
Dê exemplos.
b) Se e , com e , então
Dê exemplos.
c) Se e , então a trajetória da solução que passa pelo ponto é uma elipse.
d) Suponha ou . Prove que existe uma solução tal que
Dê exemplos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares:
Queremos analisar o comportamento das soluções desse sistema com base nas raízes do polinômio característico:
As raízes e vão nos dizer como as soluções se comportam para . Para resolver cada parte do exercício, vamos aplicar conceitos de sistemas dinâmicos e teoria de equações diferenciais lineares, sempre passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter duas raízes negativas no polinômio característico. Quando ambas as raízes e são negativas, isso implica que o sistema é assintoticamente estável. Em termos simples, isso quer dizer que, com o tempo, as soluções vão tendendo para o ponto de equilíbrio, que é .
Passo 3
Para provar isso, vamos considerar a solução geral do sistema. Como as raízes são reais e negativas, a solução será uma combinação linear de exponenciais decrescentes:
Como e , quando , e . Portanto, tanto quanto vão para zero.
Passo 4
Agora, vamos dar um exemplo concreto. Considere o sistema:
O polinômio característico é:
As raízes são . Nesse caso, temos raízes complexas com parte real negativa, mas para simplificar, escolhemos raízes reais negativas.
Passo 5
Outro exemplo com raízes reais e negativas:
Considere o sistema:
O polinômio característico é:
As raízes são e , ambas negativas. Assim, as soluções vão tendem para quando .
Resposta
Portanto, se ambas as raízes do polinômio característico forem negativas, todas as soluções do sistema vão convergir para o ponto de equilíbrio à medida que tende ao infinito.