Calcule as integrais abaixo: integral t sec ^2(2 t) d t

Passo 1

Vamos calcular a integral integral t sec^2(2t) , dt. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

Vamos escolher:
u = t e dv = sec^2(2t) , dt
Fazendo essa escolha, estamos deixando u igual a t e dv igual a sec^2(2t) , dt.

Passo 4

Agora, vamos calcular du e v:
du = ddt t , dt = 1 cdot dt = dt
Para encontrar v, precisamos integrar dv:
v = integral sec^2(2t) , dt
Sabemos que integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C, mas como temos sec^2(2t), precisamos ajustar para a cadeia de funções.

Passo 5

Integrando v:
v = integral sec^2(2t) , dt = 12 tan(2t) + C
Aqui, usamos a substituição x = 2t, então dx = 2 , dt, o que nos dá o fator de 12.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral t sec^2(2t) , dt = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= t cdot ( 12 tan(2t) ) - integral ( 12 tan(2t) ) , dt
= t2 tan(2t) - 12 integral tan(2t) , dt

Passo 7

Vamos calcular a integral restante integral tan(2t) , dt. Sabemos que:
integral tan(x) , dx = -ln|cos(x)| + C
Aplicando isso para tan(2t):
integral tan(2t) , dt = -12 ln|cos(2t)| + C

Passo 8

Substituindo de volta na expressão anterior:
t2 tan(2t) - 12 ( -12 ln|cos(2t)| ) + C
= t2 tan(2t) + 14 ln|cos(2t)| + C

Resposta

A integral é:
integral t sec^2(2t) , dt = t2 tan(2t) + 14 ln|cos(2t)| + C

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