Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Vamos escolher:
Fazendo essa escolha, estamos deixando
igual a
e
igual a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Para encontrar
, precisamos integrar
:
Sabemos que
, mas como temos
, precisamos ajustar para a cadeia de funções.
Passo 5
Integrando
:
Aqui, usamos a substituição
, então
, o que nos dá o fator de
.
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos calcular a integral restante
. Sabemos que:
Aplicando isso para
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão anterior:
Resposta
A integral é: