Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
Fazendo essa escolha, estamos deixando igual a e igual a .

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
Para encontrar , precisamos integrar :
Sabemos que , mas como temos , precisamos ajustar para a cadeia de funções.

Passo 5

Integrando :
Aqui, usamos a substituição , então , o que nos dá o fator de .

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Vamos calcular a integral restante . Sabemos que:
Aplicando isso para :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

A integral é:

Exercícios relacionados

Considere o sistema . Sejam as raízes do polinômio característico
Seja uma solução qualquer do sistema. Prove:
a) Se e , então
Dê exemplos.
b) Se e , com e , então
Dê exemplos.
c) Se e , então a trajetória da solução que passa pelo ponto é uma elipse.
d) Suponha ou . Prove que existe uma solução tal que
Dê exemplos.
Calcule as integrais abaixo:
As trajetórias são elipses? Justifique.
a)
b)
Determine uma solução particular para os sistemas:
a)
b)
c)
d)