Calcule as integrais abaixo. integral 2 cdot cos ^2(x) cdot sen^2(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Estamos trabalhando com cálculo integral, e para resolver essa integral, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudarão a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante: e . Essas identidades nos ajudam a transformar funções trigonométricas ao quadrado em expressões mais fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicando essas identidades na nossa integral:
2 cdot cos^2(x) cdot sin^2(x) = 2 cdot (1 + cos(2x)2) cdot (1 - cos(2x)2)
Simplificando:
2 cdot (1 + cos(2x))(1 - cos(2x))4 = (1 + cos(2x))(1 - cos(2x))2

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os termos dentro dos parênteses usando a fórmula da diferença de quadrados:
(1 + cos(2x))(1 - cos(2x)) = 1 - cos^2(2x)
Então, temos:
1 - cos^2(2x)2

Passo 5

Outra identidade trigonométrica que vamos usar é 1 - 1 + cos(4x)22 = 2 - 1 - cos(4x)22 = 1 - cos(4x)4 . Substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, a integral original fica:
integral 1 - cos(4x)4 , dx = 14 integral (1 - cos(4x)) , dx

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
14 ( integral 1 , dx - integral cos(4x) , dx )
A integral de 1 em relação a é , e a integral de é .

Passo 8

Substituindo as integrais:
14 ( x - sin(4x)4 ) + C
Simplificando:
x4 - sin(4x)16 + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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