Calcule as integrais abaixo:
integral cos ^5 x sen^1027 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da integral para substituir por uma nova variável. Olhando para u = sin x , é conveniente escolher , porque a derivada de é , que já está presente na integral.
Então, definimos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dudx = cos x em relação a du = cos x , dx :
Isso significa que pode ser substituído por na integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição integral cos^5 x sin^1027 x , dx = integral cos^4 x cdot cos x sin^1027 x , dx :
= integral cos^4 x cdot u^1027 , du

Passo 5

Agora, precisamos expressar cos^2 x = 1 - sin^2 x = 1 - u^2 em termos de cos^4 x = (cos^2 x)^2 = (1 - u^2)^2 . Sabemos que:
Então,

Passo 6

Substituindo integral cos^4 x cdot u^1027 , du = integral (1 - u^2)^2 cdot u^1027 , du na integral:

Passo 7

Vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
integral (1 - 2u^2 + u^4) cdot u^1027 , du = integral ( u^1027 - 2u^1029 + u^1031 ) , du
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^1027 , du = u^10281028
integral 2u^1029 , du = 2u^10301030
integral u^1031 , du = u^10321032

Passo 9

Juntando tudo, temos:
u^10281028 - 2u^10301030 + u^10321032 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, substituímos sin^1028 x1028 - 2sin^1030 x1030 + sin^1032 x1032 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral sin^1028 x1028 - 2sin^1030 x1030 + sin^1032 x1032 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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