Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da integral para substituir por uma nova variável. Olhando para , é conveniente escolher , porque a derivada de é , que já está presente na integral.
Então, definimos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Isso significa que pode ser substituído por na integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição :

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Então,

Passo 6

Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Juntando tudo, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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